Carré magique 3×3 : la méthode du parallélogramme

Le carré magique d’ordre 3 est souvent présenté comme une petite curiosité numérique : neuf cases, les nombres de 1 à 9, et une somme constante égale à 15 sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale.

Mais ce carré peut être vu autrement. Il n’est pas seulement une grille. Il est aussi une figure géométrique cachée.

L’idée est étonnamment simple : à partir d’un centre, de deux directions et d’un parallélogramme, on peut obtenir les neuf expressions qui composent un carré magique 3×3. Cette lecture donne une explication très élégante de la structure interne du carré de Lo Shu.

Au lieu de mémoriser la disposition :

2	9	4
7	5	3
6	1	8

nous allons la reconstruire à partir de trois paramètres :

c : le centre
a : une première direction
b : une seconde direction

Le point de départ : un centre et deux directions

On part d’un point central M, auquel on associe la valeur c.

Puis on choisit deux déplacements :

a : déplacement dans une direction du parallélogramme
b : déplacement dans l’autre direction

À partir du centre c, on peut avancer ou reculer selon a, selon b, ou selon une combinaison des deux.

On obtient alors neuf positions :

c
c + a
c - a
c + b
c - b
c + a + b
c + a - b
c - a + b
c - a - b

Ces neuf expressions forment la matière première du carré magique.

Elles sont symétriques autour de c. Par exemple :

(c + a) + (c - a) = 2c
(c + b) + (c - b) = 2c
(c + a + b) + (c - a - b) = 2c

Cette symétrie est le cœur de la construction.

Chaque paire opposée se compense autour du centre. C’est exactement ce qu’il faut pour obtenir des alignements dont la somme vaut 3c.

Les neuf points du parallélogramme

On peut organiser ces neuf expressions comme les sommets, les milieux et le centre d’un parallélogramme.

P = c + a - b	T = c + a	Q = c + a + b
W = c - b	M = c	U = c + b
S = c - a - b	V = c - a	R = c - a + b

Dans ce tableau géométrique :

• M est le centre ;
• T, U, V, W sont les milieux des côtés ;
• P, Q, R, S sont les sommets du parallélogramme.

Les lignes, les colonnes et les diagonales de ce tableau ne donnent pas encore le carré magique dans sa forme habituelle. Mais elles montrent déjà une propriété fondamentale : les points opposés autour du centre se complètent.

Par exemple :

T + V = (c + a) + (c - a) = 2c
U + W = (c + b) + (c - b) = 2c
Q + S = (c + a + b) + (c - a - b) = 2c
P + R = (c + a - b) + (c - a + b) = 2c

Dans chaque cas, si l’on ajoute le centre M = c, on obtient :

point + centre + point opposé = 3c

La constante magique est donc déjà en préparation.

La permutation qui transforme la figure en carré magique

Le point essentiel est le suivant : on ne garde pas les points dans l’ordre naturel du parallélogramme. On les réarrange dans l’ordre suivant :

W	Q	V
R	M	P
T	S	U

En remplaçant chaque lettre par sa formule, on obtient :

c - b	c + a + b	c - a
c - a + b	c	c + a - b
c + a	c - a - b	c + b

C’est la forme algébrique générale d’un carré magique d’ordre 3.

Elle est souvent reliée aux formules de Lucas pour les carrés magiques 3×3.

Pourquoi la somme est toujours constante

Vérifions les lignes.

Première ligne :

(c - b) + (c + a + b) + (c - a) = 3c

Deuxième ligne :

(c - a + b) + c + (c + a - b) = 3c

Troisième ligne :

(c + a) + (c - a - b) + (c + b) = 3c

Les colonnes donnent aussi 3c :

(c - b) + (c - a + b) + (c + a) = 3c
(c + a + b) + c + (c - a - b) = 3c
(c - a) + (c + a - b) + (c + b) = 3c

Et les deux diagonales :

(c - b) + c + (c + b) = 3c
(c - a) + c + (c + a) = 3c

La magie vient donc d’un équilibre très simple : chaque alignement contient trois termes dont les contributions en a et en b s’annulent.

Il reste toujours trois fois le centre.

constante magique = 3c

Retrouver le carré de Lo Shu

Pour obtenir le carré classique avec les nombres de 1 à 9, il suffit de choisir :

c = 5
a = 1
b = 3

Le tableau géométrique du parallélogramme devient :

3	6	9
2	5	8
1	4	7

Ce tableau est très régulier : il progresse de +3 horizontalement et de +1 verticalement.

Mais le carré magique apparaît après la permutation des points :

			Somme
2	9	4	15
7	5	3	15
6	1	8	15

Les colonnes donnent aussi 15 :

2 + 7 + 6 = 15
9 + 5 + 1 = 15
4 + 3 + 8 = 15

Les diagonales également :

2 + 5 + 8 = 15
4 + 5 + 6 = 15

On retrouve donc le carré de Lo Shu.

La construction montre pourquoi 5 est nécessairement au centre : dans un carré magique normal d’ordre 3, la constante vaut 15, donc le centre vaut :

15 / 3 = 5

Choisir les paramètres sans créer de doublons

La formule générale produit toujours des sommes magiques, mais elle ne garantit pas automatiquement que les neuf valeurs soient distinctes.

Il faut éviter que deux expressions parmi :

c,
c ± a,
c ± b,
c ± a ± b

soient égales.

Autrement dit, les déplacements a, b, a + b et a - b ne doivent pas provoquer de collision.

Pour le carré normal 1...9, on veut que les écarts autour du centre soient exactement :

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Avec a = 1 et b = 3, les écarts obtenus sont :

0, ±1, ±3, ±4, ±2

c’est-à-dire tous les écarts nécessaires de -4 à 4.

C’est pour cela que le choix c = 5, a = 1, b = 3 reconstruit parfaitement les nombres de 1 à 9.

Les huit variantes du carré d’ordre 3

Le carré de Lo Shu possède huit formes équivalentes : rotations et symétries.

Par exemple, on peut faire tourner le carré, le retourner horizontalement ou verticalement, ou échanger certains rôles géométriques entre a et b. La structure magique ne change pas : les sommes restent constantes.

La méthode du parallélogramme donne une manière très naturelle de comprendre cette famille de huit carrés. Ce ne sont pas huit objets indépendants. Ce sont huit lectures d’une même structure centrale.

Une lecture vectorielle

La construction ne dépend pas vraiment du fait que a, b et c soient des nombres ordinaires.

On peut les lire comme des vecteurs.

Dans ce cas :

• c indique la position du centre ;
• a indique un déplacement dans une première direction ;
• b indique un déplacement dans une seconde direction ;
• les neuf expressions décrivent le centre, les milieux et les sommets du parallélogramme.

La magie du carré 3×3 devient alors une propriété d’équilibre vectoriel.

Chaque ligne du carré magique est une somme de trois vecteurs dont les déplacements se compensent. La somme de chaque ligne vaut donc 3c.

Cette lecture est intéressante parce qu’elle sépare deux niveaux :

• la géométrie fournit les symétries ;
• la permutation magique choisit les alignements qui annulent a et b.

Une lecture dans le plan complexe

On peut pousser l’idée encore plus loin en plaçant le parallélogramme dans le plan complexe.

Prenons par exemple :

c = 0
a = i
b = 1

Les neuf positions deviennent :

0
1, -1, i, -i
1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i

On obtient alors une figure extrêmement symétrique : le centre, les quatre directions cardinales et les quatre coins.

L’une des formes magiques possibles est :

-i	1 + i	-1
-1 + i	0	1 - i
1	-1 - i	i

La somme de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale vaut 0, puisque le centre est 0.

Cette version ne sert pas à fabriquer les nombres 1...9. Elle sert plutôt à voir la structure pure du carré magique d’ordre 3 : un équilibre autour de l’origine.

Pourquoi cette méthode est précieuse

La méthode du parallélogramme a plusieurs qualités pédagogiques.

Elle montre d’abord que le carré magique 3×3 n’est pas une coïncidence isolée. Il est gouverné par une structure algébrique simple.

Elle explique ensuite pourquoi le centre joue un rôle absolu. Toutes les sommes valent 3c, donc le centre fixe la constante magique.

Elle montre aussi que les diagonales ne sont pas un miracle supplémentaire : elles sont intégrées dans la permutation choisie.

Enfin, elle donne un pont entre plusieurs mondes :

• les carrés magiques classiques ;
• les progressions arithmétiques ;
• la géométrie vectorielle ;
• les nombres complexes ;
• les symétries du carré de Lo Shu.

Vérification avec un petit script Python

Voici un script minimal pour générer le carré à partir de c, a et b, puis vérifier les sommes.

from pprint import pprint


def carre_parallelogramme(c, a, b):
    """Construit un carré magique 3×3 à partir de la méthode du parallélogramme."""
    return [
        [c - b,     c + a + b, c - a],
        [c - a + b, c,         c + a - b],
        [c + a,     c - a - b, c + b],
    ]


def sommes_magiques(carre):
    lignes = [sum(ligne) for ligne in carre]
    colonnes = [sum(carre[i][j] for i in range(3)) for j in range(3)]
    diagonales = [
        sum(carre[i][i] for i in range(3)),
        sum(carre[i][2 - i] for i in range(3)),
    ]
    return lignes, colonnes, diagonales


def est_magique(carre):
    lignes, colonnes, diagonales = sommes_magiques(carre)
    valeurs = lignes + colonnes + diagonales
    return len(set(valeurs)) == 1


carre = carre_parallelogramme(c=5, a=1, b=3)

pprint(carre)
print(sommes_magiques(carre))
print("Carré magique :", est_magique(carre))

Sortie attendue :

[[2, 9, 4],
 [7, 5, 3],
 [6, 1, 8]]
([15, 15, 15], [15, 15, 15], [15, 15])
Carré magique : True

Variante : tester l’unicité des valeurs

La magie des sommes ne suffit pas toujours. Il faut aussi vérifier que les neuf valeurs sont distinctes.

def valeurs_distinctes(carre):
    valeurs = [x for ligne in carre for x in ligne]
    return len(valeurs) == len(set(valeurs))


for a in range(1, 6):
    for b in range(1, 6):
        carre = carre_parallelogramme(c=5, a=a, b=b)
        if est_magique(carre) and valeurs_distinctes(carre):
            valeurs = sorted(x for ligne in carre for x in ligne)
            if valeurs == list(range(1, 10)):
                print(f"a={a}, b={b}")
                pprint(carre)

Ce type de script permet d’explorer les variantes et de mieux voir quelles paires de déplacements reconstruisent exactement le carré normal 1...9.

À retenir

Le carré magique d’ordre 3 peut être généré à partir d’un parallélogramme.

La recette tient en quatre idées :

1. choisir un centre c ;
2. choisir deux déplacements a et b ;
3. former les neuf expressions c, c ± a, c ± b, c ± a ± b ;
4. les placer selon la permutation magique :

W Q V
R M P
T S U

La constante magique vaut alors :

3c

Pour c = 5, a = 1, b = 3, on obtient le carré de Lo Shu :

2	9	4
7	5	3
6	1	8

La beauté de cette méthode tient à sa double nature : elle est à la fois numérique et géométrique. Le carré magique devient une figure d’équilibre.

Sources et prolongements

Cette présentation reprend l’idée générale du lien entre carré magique 3×3 et parallélogramme, en la reformulant sous une forme pédagogique et adaptée à Mystimath.

Pour prolonger :

• Lee Sallows, The lost theorem, 1997 ;
• Gérard Villemin, page documentaire sur les carrés magiques 3×3 et le parallélogramme ;
• article Mystimath : Méthodes de construction des carrés magiques ;
• article Mystimath : Carrés gréco-latins : construire des carrés magiques par superposition.