Carrés magiques
Figures carrées dans lesquelles les lignes, colonnes et diagonales partagent une même constante magique.
Base de structures
Une base ouverte de structures magiques
Cette section documente progressivement des carrés magiques, des carrés bimagiques, des structures trimagiques, des constructions remarquables et, plus tard, des défis évolutifs.
Familles
Parcourir par type de figure
Carrés bimagiques
Carrés qui restent magiques après élévation des valeurs au carré.
Carrés trimagiques
Structures vérifiées simultanément sur les puissances 1, 2 et 3.
Carrés multimagiques
Carrés vérifiés sur plusieurs puissances successives, souvent liés à des constructions plus rares.
Cubes magiques
Extensions tridimensionnelles des carrés magiques.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carrés magiques qui ajoutent une contrainte arithmétique forte : produit constant, double contrainte somme-produit, nombres carrés, nombres premiers, puissances ou autres familles numériques particulières.
Treillis et polygones magiques
Structures magiques qui ne sont ni des carrés ni des cubes : hexagones, losanges, pentagones, étoiles, réseaux et autres formes géométriques organisées par lignes ou directions.
Structures expérimentales
Objets numériques, constructions partielles et pistes de recherche non encore classées.
Niveaux
Parcourir par difficulté
Débutant
Structures accessibles pour découvrir les carrés magiques, les constantes et les premières propriétés.
Intermédiaire
Structures demandant une compréhension plus fine des symétries, variantes et méthodes de vérification.
Avancé
Figures plus techniques, souvent liées à des contraintes supplémentaires ou à des constructions moins immédiates.
Expert
Structures rares, constructions difficiles ou propriétés exigeant une vérification approfondie.
Recherche
Constructions expérimentales, problèmes ouverts, défis évolutifs et pistes de recherche.
Usages
Parcourir par intention
Introduction
Structures utilisées pour découvrir les notions de base : constante magique, lignes, colonnes, diagonales et premières propriétés.
Exemple historique
Figures associées à une tradition, une œuvre, une période historique ou une transmission culturelle documentée.
Visualisation
Structures adaptées aux grilles, cartes de chaleur, sommes détaillées et explorations interactives.
Vérification
Structures utiles pour tester des contrôles automatiques, des scripts de validation ou des propriétés mathématiques explicites.
Recherche expérimentale
Objets numériques, constructions partielles et pistes de recherche nécessitant exploration et vérification.
Défi / énigme
Structures ou grilles destinées à devenir des problèmes ouverts, défis évolutifs ou énigmes communautaires.
Méthodes
Parcourir par méthode de construction
Les méthodes permettent de distinguer les structures construites par méthode siamoise, par méthode doublement paire, ou documentées comme exemples historiques.
Méthode siamoise
Méthode classique utilisée pour construire des carrés magiques d’ordre impair, avec déplacement haut-droite et rebouclage.
Méthode doublement paire
Méthode adaptée aux carrés dont l’ordre est divisible par 4, fondée sur un motif de cases et des compléments.
Exemple historique
Structures documentées principalement pour leur rôle historique, culturel ou symbolique.
Recherche expérimentale
Méthode fondée sur des essais, heuristiques, recherches informatiques, optimisation, recuit simulé ou exploration de candidats partiels.
Contre-exemple pédagogique
Structures utiles pour comprendre les limites d’une définition ou distinguer des propriétés proches.
Méthode simplement paire
Méthodes destinées aux ordres pairs divisibles par 2 mais non divisibles par 4, comme 6, 10 ou 14.
Transformation arithmétique
Méthode consistant à transformer une structure existante par une fonction numérique, par exemple en remplaçant chaque valeur par une puissance.
Variantes
Parcourir par forme ou transformation
Les variantes permettent de distinguer les carrés standards, historiques, semi-magiques, associatifs, pandiagonaux, complémentaires ou expérimentaux.
Standard classique
Carrés magiques normaux ou classiques, construits selon une méthode principale et vérifiés par les lignes, colonnes et diagonales.
Historique
Structures remarquables par leur ancienneté, leur contexte culturel ou leur place dans l’histoire des carrés magiques.
Symétries et orientations
Variantes obtenues par rotation, reflet, orientation ou réorganisation symétrique d’un carré magique existant.
Semi-magique
Carrés dont certaines contraintes magiques sont respectées, mais pas nécessairement les diagonales principales.
Associatif
Carrés où les cases symétriques par rapport au centre présentent une relation régulière, souvent une somme constante.
Pandiagonal
Carrés où les diagonales brisées ou enroulées conservent elles aussi la constante magique.
Complémentaire
Variantes obtenues par complément, inversion, transformation ou symétrie numérique à partir d’un carré existant.
Expérimental
Structures issues d’explorations ouvertes, de constructions partielles, de coïncidences structurées ou de recherches numériques.
Opérations
Parcourir par type de magie
Toutes les structures magiques ne reposent pas uniquement sur l’addition. Certaines utilisent le produit, d’autres conservent leurs propriétés après élévation à une puissance, et quelques-unes combinent plusieurs opérations.
Addition
Les lignes, colonnes ou directions donnent une somme constante.
Multiplication
Les lignes, colonnes ou directions donnent un produit constant.
Puissances
La structure reste magique après élévation des valeurs à une ou plusieurs puissances.
Hybride
La structure combine plusieurs opérations, par exemple addition et multiplication.
Nombres utilisés
Parcourir par contrainte arithmétique
Certaines structures ne se distinguent pas seulement par leur forme ou par l’opération utilisée. Elles imposent aussi une contrainte sur la nature des nombres placés dans les cases : nombres consécutifs, carrés parfaits, nombres premiers ou familles numériques particulières.
Nombres consécutifs
La structure utilise généralement les entiers consécutifs attendus pour son ordre.
Nombres carrés
Les entrées de la structure sont des carrés parfaits.
Nombres premiers
Les entrées de la structure sont des nombres premiers.
Puissances
Les entrées appartiennent à une famille de puissances ou suivent une contrainte apparentée.
Contrainte particulière
Les valeurs suivent une règle arithmétique spécifique ou expérimentale.
43 structure(s) affichée(s)
Lo Shu
Le carré Lo Shu est un carré magique d’ordre 3. Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale principale donne la somme 15.
Carré Lo Shu — variante eau
Cette variante du carré Lo Shu dispose les nombres selon la lecture 834159672. Elle conserve toutes les propriétés magiques du Lo Shu classique : chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale principale donne la constante 15.
Carré de Dürer
Le carré de Dürer est un carré magique d’ordre 4 apparaissant dans la gravure Melencolia I d’Albrecht Dürer, datée de 1514. Chaque ligne, colonne et diagonale principale donne la somme 34.
Carré magique d’ordre 5 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 5 contient les nombres de 1 à 25. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 65.
Carré semi-magique d’ordre 3
Ce carré semi-magique d’ordre 3 utilise les nombres de 1 à 9. Ses lignes et ses colonnes donnent toutes la somme 15, mais ses deux diagonales principales ne vérifient pas cette constante.
Carré magique d’ordre 7 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 7 contient les nombres de 1 à 49. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 175.
Carré magique d’ordre 4 par méthode doublement paire
Ce carré magique normal d’ordre 4 contient les nombres de 1 à 16. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 34. Il illustre une méthode classique de construction des carrés doublement pairs.
Carré magique d’ordre 8 par méthode doublement paire
Ce carré magique normal d’ordre 8 contient les nombres de 1 à 64. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 260. Il illustre la généralisation de la méthode doublement paire au-delà de l’ordre 4.
Carré magique d’ordre 6 simplement pair
Ce carré magique normal d’ordre 6 contient les nombres de 1 à 36. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 111. Il illustre le cas des carrés d’ordre pair simplement pair, plus délicats à construire que les carrés d’ordre impair ou doublement pair.
Carré magique d’ordre 9 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 9 contient les nombres de 1 à 81. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 369. Il illustre la généralisation de la méthode siamoise aux carrés d’ordre impair plus grands.
Carré magique d’ordre 11 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 11 contient les nombres de 1 à 121. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 671. Il prolonge la série des carrés impairs construits par méthode siamoise.
Carré magique d’ordre 12 par méthode doublement paire
Ce carré magique normal d’ordre 12 contient les nombres de 1 à 144. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 870. Il illustre la généralisation de la méthode doublement paire à des grilles plus grandes.
Carré magique d’ordre 10 simplement pair
Ce carré magique normal d’ordre 10 contient les nombres de 1 à 100. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 505. Il illustre la généralisation des carrés simplement pairs au-delà de l’ordre 6.
Carré magique d’ordre 13 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 13 contient les nombres de 1 à 169. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 1105. Il prolonge la série des carrés impairs construits par méthode siamoise.
Carré magique d’ordre 14 simplement pair
Ce carré magique normal d’ordre 14 contient les nombres de 1 à 196. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 1379. Il prolonge la série des carrés simplement pairs documentés dans Mystimath.
Carré magique d’ordre 15 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 15 contient les nombres de 1 à 225. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 1695. Il prolonge la série des carrés impairs construits par méthode siamoise.
Carré magique d’ordre 16 par méthode doublement paire
Ce carré magique normal d’ordre 16 contient les nombres de 1 à 256. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 2056. Il prolonge la série des carrés doublement pairs documentés dans Mystimath.
Carré magique d’ordre 18 simplement pair
Ce carré magique normal d’ordre 18 contient les nombres de 1 à 324. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 2925. Il prolonge la série des carrés simplement pairs documentés dans Mystimath.
Carré magique d’ordre 17 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 17 contient les nombres de 1 à 289. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 2465. Il prolonge la série des carrés impairs construits par méthode siamoise.
Carré magique d’ordre 19 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 19 contient les nombres de 1 à 361. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 3439. Il prolonge la série des carrés impairs construits par méthode siamoise.
Carré magique d’ordre 20 par méthode doublement paire
Ce carré magique normal d’ordre 20 contient les nombres de 1 à 400. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 4010.
Carré magique d’ordre 21 par méthode siamoise
Ce carré magique normal d’ordre 21 contient les nombres de 1 à 441. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 4641.
Carré magique d’ordre 22 simplement pair
Ce carré magique normal d’ordre 22 contient les nombres de 1 à 484. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne la constante magique 5335.
Carré bimagique normal d’ordre 8
Ce carré bimagique normal d’ordre 8 contient les nombres de 1 à 64. Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donne 260. Lorsque chaque nombre est remplacé par son carré, les lignes, colonnes et diagonales donnent encore une constante commune : 11180.
Carré trimagique normal d’ordre 12
Ce carré trimagique normal d’ordre 12 contient les nombres de 1 à 144. Les lignes, colonnes et diagonales principales donnent 870. Lorsque chaque case est élevée au carré, la constante devient 83810. Lorsque chaque case est élevée au cube, la constante devient 9082800.
Cube magique normal d’ordre 3 — configuration 1
Cette configuration 1 est un cube magique normal d’ordre 3. Elle contient les nombres de 1 à 27. Les lignes, colonnes et piliers donnent la constante 42. Les quatre grandes diagonales spatiales donnent également 42.
Cube magique normal d’ordre 3 — configuration 2
Cette configuration 2 est un cube magique normal d’ordre 3. Elle contient les nombres de 1 à 27. Les lignes, colonnes et piliers donnent la constante 42. Les quatre grandes diagonales spatiales donnent également 42.
Cube magique normal d’ordre 3 — configuration 3
Cette configuration 3 est un cube magique normal d’ordre 3. Elle contient les nombres de 1 à 27. Les lignes, colonnes et piliers donnent la constante 42. Les quatre grandes diagonales spatiales donnent également 42.
Cube magique normal d’ordre 3 — configuration 4
Cette configuration 4 est un cube magique normal d’ordre 3. Elle contient les nombres de 1 à 27. Les lignes, colonnes et piliers donnent la constante 42. Les quatre grandes diagonales spatiales donnent également 42.
Cube magique presque parfait d’ordre 4 — Walter Trump
Ce cube magique d’ordre 4, trouvé par Walter Trump en janvier 2004, est très proche d’un cube magique parfait. Ses lignes, colonnes, piliers et diagonales de plans donnent la constante 130. En revanche, les quatre grandes diagonales spatiales ne donnent pas toutes 130 : leurs sommes sont 140, 100, 160 et 120.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré multiplicatif de Lo Shu en puissances de 2
Ce carré multiplicatif est obtenu en remplaçant chaque valeur k du carré Lo Shu par 2^k. Comme chaque ligne, colonne et diagonale de Lo Shu a pour somme 15, chaque ligne, colonne et diagonale du carré transformé a pour produit 2^15, soit 32768.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré multiplicatif de Lo Shu en nombres carrés
Ce carré est obtenu en remplaçant chaque valeur k du carré Lo Shu par 4^k. Comme 4^k = (2^k)^2, toutes les entrées sont des carrés parfaits. Et comme chaque ligne, colonne et diagonale de Lo Shu a pour somme 15, chaque ligne, colonne et diagonale du carré transformé a pour produit 4^15, soit 1073741824.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré multiplicatif de Dürer en puissances de 2
Ce carré multiplicatif est obtenu en remplaçant chaque valeur k du carré de Dürer par 2^k. Comme chaque ligne, colonne et diagonale du carré de Dürer a pour somme 34, chaque ligne, colonne et diagonale du carré transformé a pour produit 2^34, soit 17179869184.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré multiplicatif d’ordre 3 — Sayles P = 216
Ce carré multiplicatif d’ordre 3 possède un produit constant égal à 216 sur chaque ligne, colonne et diagonale. Il est cité sur Multimagie comme exemple publié par Harry A. Sayles, et le produit 216 est présenté comme le produit magique minimum pour les carrés multiplicatifs 3 × 3.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré multiplicatif d’ordre 3 — Sayles P = 1000
Ce carré multiplicatif d’ordre 3 possède un produit constant égal à 1000 sur chaque ligne, colonne et diagonale. Il est cité sur Multimagie comme un exemple publié par Harry A. Sayles.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré additif-multiplicatif d’ordre 8 — Walter W. Horner
Ce carré additif-multiplicatif d’ordre 8, construit par Walter W. Horner en 1955, possède deux propriétés simultanées : chaque ligne, colonne et diagonale donne la somme constante 840, et chaque ligne, colonne et diagonale donne aussi le produit constant 2058068231856000.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré additif-multiplicatif d’ordre 9 — Walter W. Horner
Ce carré additif-multiplicatif d’ordre 9, construit par Walter W. Horner en 1952, possède une somme constante égale à 848 et un produit constant égal à 5804807833440000 sur chaque ligne, colonne et diagonale.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré additif-multiplicatif d’ordre 8 — Christian Boyer
Ce carré additif-multiplicatif d’ordre 8, construit par Christian Boyer en 2005, possède simultanément une somme constante égale à 760 et un produit constant égal à 51407948592000 sur chaque ligne, colonne et diagonale.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré multiplicatif pandiagonal d’ordre 4 — Sayles
Ce carré multiplicatif pandiagonal d’ordre 4, attribué à Harry A. Sayles, possède un produit constant égal à 14400 sur les lignes, colonnes, diagonales principales et diagonales brisées.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré multiplicatif d’ordre 3 — Antoine Arnauld
Ce carré multiplicatif d’ordre 3 possède un produit constant égal à 4096 sur chaque ligne, colonne et diagonale. Il peut être obtenu en transformant un carré additif de somme 12 par les puissances de 2.
Carrés arithmétiques et hybrides
Carré additif-multiplicatif d’ordre 8 — Boyer S = 600
Ce carré additif-multiplicatif d’ordre 8, construit par Christian Boyer en 2005, possède une somme constante égale à 600 et un produit constant égal à 67463283888000 sur chaque ligne, colonne et diagonale.
Carré magique d’ordre 7 — méthode du cavalier
Ce carré magique normal d’ordre 7 contient les entiers de 1 à 49. Chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales ont pour somme constante 175. Il est présenté ici comme support de visualisation pour une construction par déplacement de cavalier.
Carré magique concentrique d’ordre 7
Ce carré magique normal d’ordre 7 contient tous les entiers de 1 à 49. Chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales ont pour somme 175. Il possède en plus une propriété concentrique : ses sous-carrés centraux d’ordre 3 et d’ordre 5 sont eux aussi magiques.
Aucune structure trouvée
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Objectif de la base
À terme, chaque structure pourra être accompagnée d’une représentation visuelle, de données JSON, d’une méthode de vérification, d’une attribution et d’un statut clair.