Dans l’article précédent, nous avons vu comment deux carrés latins orthogonaux peuvent produire un carré magique : chaque case reçoit une paire de symboles, puis cette paire est transformée en nombre.
La méthode étudiée ici garde cette idée de superposition de deux couches, mais elle la rend plus visuelle. Au lieu de manipuler deux carrés latins classiques, on construit deux grilles numériques complémentaires :
- une couche de blocs de 8 :
0, 8, 16, ..., 56; - une couche d’unités alternées :
1, 2, ..., 8, arrangées par paires complémentaires.
La somme des deux couches donne un carré 8 × 8 contenant les nombres de 1 à 64.
Cette construction est intéressante parce qu’elle mène naturellement vers l’univers des carrés de Franklin : des carrés d’ordre 8 très riches, où les lignes et les colonnes sont équilibrées, mais où les diagonales classiques ne sont pas forcément le critère le plus important.
Pourquoi l’ordre 8 ?
Un carré magique normal d’ordre 8 contient les nombres de 1 à 64.
La somme totale vaut :
1 + 2 + ... + 64 = 64 × 65 / 2 = 2080Comme il y a 8 lignes, la constante magique attendue est :
2080 / 8 = 260On peut aussi utiliser la formule générale :
M = n(n² + 1) / 2Pour n = 8 :
M = 8 × (64 + 1) / 2 = 260Notre objectif sera donc d’obtenir des lignes et des colonnes de somme 260.
L’idée de l’échelle alternée
La méthode repose sur une décomposition simple : chaque nombre de 1 à 64 peut être vu comme :
nombre = bloc + unitéLe bloc est un multiple de 8 :
0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56L’unité est un nombre entre 1 et 8.
Par exemple :
49 = 48 + 1
64 = 56 + 8
37 = 32 + 5La construction va donc organiser séparément les blocs et les unités, puis additionner les deux grilles.
C’est ce qui donne à la méthode son parfum gréco-latin : chaque case contient implicitement un couple (bloc, unité).
Première couche : les blocs de 8
On commence par une grille de blocs. Une ligne monte de 0 à 56, la suivante descend de 56 à 0, puis le motif recommence.
| c1 | c2 | c3 | c4 | c5 | c6 | c7 | c8 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 224 |
| 56 | 48 | 40 | 32 | 24 | 16 | 8 | 0 | 224 |
| 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 224 |
| 56 | 48 | 40 | 32 | 24 | 16 | 8 | 0 | 224 |
| 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 224 |
| 56 | 48 | 40 | 32 | 24 | 16 | 8 | 0 | 224 |
| 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 224 |
| 56 | 48 | 40 | 32 | 24 | 16 | 8 | 0 | 224 |
Chaque ligne vaut 224.
Les colonnes valent aussi 224, car chaque colonne reçoit quatre fois un bloc et quatre fois son complément à 56 :
0 + 56 + 0 + 56 + 0 + 56 + 0 + 56 = 224
8 + 48 + 8 + 48 + 8 + 48 + 8 + 48 = 224
...Cette couche est donc déjà très équilibrée.
Il lui manque seulement 36 par ligne et par colonne pour atteindre 260.
Deuxième couche : les unités complémentaires
La seconde couche doit apporter exactement 36 sur chaque ligne et sur chaque colonne, car :
260 - 224 = 36Or :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36On va donc disposer les unités de façon alternée, en utilisant des paires complémentaires à 9 :
1 + 8 = 9
7 + 2 = 9
8 + 1 = 9
2 + 7 = 9
6 + 3 = 9
4 + 5 = 9
3 + 6 = 9
5 + 4 = 9Voici une couche d’unités qui équilibre à la fois les lignes et les colonnes.
| c1 | c2 | c3 | c4 | c5 | c6 | c7 | c8 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 1 | 8 | 1 | 8 | 1 | 8 | 36 |
| 7 | 2 | 7 | 2 | 7 | 2 | 7 | 2 | 36 |
| 8 | 1 | 8 | 1 | 8 | 1 | 8 | 1 | 36 |
| 2 | 7 | 2 | 7 | 2 | 7 | 2 | 7 | 36 |
| 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 36 |
| 4 | 5 | 4 | 5 | 4 | 5 | 4 | 5 | 36 |
| 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 3 | 6 | 36 |
| 5 | 4 | 5 | 4 | 5 | 4 | 5 | 4 | 36 |
Chaque ligne vaut 36.
Chaque colonne vaut aussi 36 :
1 + 7 + 8 + 2 + 6 + 4 + 3 + 5 = 36
8 + 2 + 1 + 7 + 3 + 5 + 6 + 4 = 36La couche des blocs apporte 224. La couche des unités apporte 36. Leur somme donnera donc 260 sur chaque ligne et chaque colonne.
Superposition des deux couches
On additionne maintenant les deux tableaux case par case.
carré final = couche des blocs + couche des unitésOn obtient :
| c1 | c2 | c3 | c4 | c5 | c6 | c7 | c8 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 16 | 17 | 32 | 33 | 48 | 49 | 64 | 260 |
| 63 | 50 | 47 | 34 | 31 | 18 | 15 | 2 | 260 |
| 8 | 9 | 24 | 25 | 40 | 41 | 56 | 57 | 260 |
| 58 | 55 | 42 | 39 | 26 | 23 | 10 | 7 | 260 |
| 6 | 11 | 22 | 27 | 38 | 43 | 54 | 59 | 260 |
| 60 | 53 | 44 | 37 | 28 | 21 | 12 | 5 | 260 |
| 3 | 14 | 19 | 30 | 35 | 46 | 51 | 62 | 260 |
| 61 | 52 | 45 | 36 | 29 | 20 | 13 | 4 | 260 |
Les lignes valent toutes 260.
Les colonnes aussi :
1 + 63 + 8 + 58 + 6 + 60 + 3 + 61 = 260
16 + 50 + 9 + 55 + 11 + 53 + 14 + 52 = 260
17 + 47 + 24 + 42 + 22 + 44 + 19 + 45 = 260
32 + 34 + 25 + 39 + 27 + 37 + 30 + 36 = 260
33 + 31 + 40 + 26 + 38 + 28 + 35 + 29 = 260
48 + 18 + 41 + 23 + 43 + 21 + 46 + 20 = 260
49 + 15 + 56 + 10 + 54 + 12 + 51 + 13 = 260
64 + 2 + 57 + 7 + 59 + 5 + 62 + 4 = 260Nous avons donc un carré semi-magique normal : il contient les entiers de 1 à 64, et toutes ses lignes et colonnes ont la bonne somme.
Le point délicat : les diagonales
Les deux grandes diagonales donnent :
1 + 50 + 24 + 39 + 38 + 21 + 51 + 4 = 228
64 + 15 + 41 + 26 + 27 + 44 + 14 + 61 = 292Elles ne valent pas 260.
Ce point est très important : la méthode produit une structure très équilibrée, mais elle ne donne pas automatiquement un carré magique classique au sens strict.
C’est justement là que le lien avec Franklin devient intéressant. Dans les carrés de Franklin, les grandes diagonales ordinaires ne sont pas le cœur de la magie. On s’intéresse plutôt à des diagonales brisées, à des demi-diagonales ou à des symétries de parcours.
Autrement dit, ce carré n’est pas à présenter comme un carré magique classique parfait. Il est plutôt une porte d’entrée vers les carrés de Franklin : il montre comment une alternance très simple peut produire une grille presque magique, puis invite à chercher les corrections nécessaires.
Pourquoi les lignes et les colonnes marchent si bien
La réussite des lignes et des colonnes vient d’une séparation très nette des rôles.
La couche des blocs vaut 224 partout :
0 + 8 + 16 + 24 + 32 + 40 + 48 + 56 = 224La couche des unités vaut 36 partout :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36La somme des deux couches vaut donc :
224 + 36 = 260Le carré final hérite de cet équilibre.
Cette méthode donne une leçon très utile : pour fabriquer un carré magique, on peut parfois travailler sur plusieurs grilles plus simples, chacune responsable d’une partie de la contrainte.
Ce que la méthode garantit, et ce qu’elle ne garantit pas
| Propriété | Résultat dans l’exemple |
|---|---|
Tous les nombres de 1 à 64 sont présents une fois | Oui |
Toutes les lignes valent 260 | Oui |
Toutes les colonnes valent 260 | Oui |
La diagonale principale vaut 260 | Non, elle vaut 228 |
La diagonale secondaire vaut 260 | Non, elle vaut 292 |
| Le carré est un carré magique classique | Non |
| Le carré est une structure proche de l’esprit Franklin | Oui |
Ce bilan est précieux. Il évite de confondre trois niveaux :
- un carré semi-magique ;
- un carré magique classique ;
- un carré de Franklin, qui possède des propriétés plus particulières que les deux diagonales habituelles.
Une vérification en Python
Voici un script court pour vérifier la construction.
blocks = [
[0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56],
[56, 48, 40, 32, 24, 16, 8, 0],
[0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56],
[56, 48, 40, 32, 24, 16, 8, 0],
[0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56],
[56, 48, 40, 32, 24, 16, 8, 0],
[0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56],
[56, 48, 40, 32, 24, 16, 8, 0],
]
units = [
[1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8],
[7, 2, 7, 2, 7, 2, 7, 2],
[8, 1, 8, 1, 8, 1, 8, 1],
[2, 7, 2, 7, 2, 7, 2, 7],
[6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3],
[4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5],
[3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6],
[5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4],
]
square = [
[blocks[i][j] + units[i][j] for j in range(8)]
for i in range(8)
]
rows = [sum(row) for row in square]
cols = [sum(square[i][j] for i in range(8)) for j in range(8)]
diag_1 = sum(square[i][i] for i in range(8))
diag_2 = sum(square[i][7 - i] for i in range(8))
values = sorted(x for row in square for x in row)
for row in square:
print(row)
print("Lignes :", rows)
print("Colonnes :", cols)
print("Diagonale 1 :", diag_1)
print("Diagonale 2 :", diag_2)
print("Nombres 1..64 :", values == list(range(1, 65)))Résultat attendu :
Lignes : [260, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 260]
Colonnes : [260, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 260]
Diagonale 1 : 228
Diagonale 2 : 292
Nombres 1..64 : TrueComment poursuivre vers un vrai carré de Franklin ?
La construction précédente montre une base très prometteuse. Mais pour atteindre un vrai carré de Franklin, il faut ajouter des contraintes supplémentaires.
On peut chercher à préserver :
- la présence de tous les nombres de
1à64; - les lignes et colonnes à
260; - certaines diagonales brisées ;
- des demi-diagonales complémentaires ;
- des blocs ou bandes qui conservent la somme attendue.
C’est un problème de réglage fin. Une petite permutation de lignes, de colonnes, de bandes ou de paires peut conserver les lignes et colonnes tout en modifiant les propriétés diagonales.
Dans une recherche expérimentale, cette méthode est donc un excellent point de départ : elle fournit une grille déjà très structurée, puis on peut tester des transformations qui améliorent les propriétés de Franklin.
Une méthode plus pédagogique qu’automatique
L’intérêt de l’échelle alternée n’est pas seulement de produire une grille spectaculaire. C’est surtout de montrer que la magie peut être construite en couches.
La couche des blocs porte les grands déplacements. La couche des unités corrige les petites sommes. Le carré final n’est plus une apparition mystérieuse : il devient la somme de deux mécanismes lisibles.
Cette approche est particulièrement utile pour apprendre à observer les carrés magiques :
- où se cachent les compléments ?
- quelles lignes sont simplement inversées ?
- quelles colonnes sont équilibrées par symétrie ?
- quelle partie de la grille contrôle les écarts ?
Même lorsqu’elle ne donne pas directement un carré magique complet, elle donne une méthode de lecture puissante.
À retenir
La méthode de l’échelle alternée construit un carré 8 × 8 en superposant deux grilles : une grille de blocs de 8 et une grille d’unités complémentaires.
Elle produit un carré normal contenant tous les nombres de 1 à 64, avec lignes et colonnes de somme 260.
Elle ne produit pas automatiquement un carré magique classique, car les deux grandes diagonales ne valent pas 260 dans l’exemple présenté. Mais elle prépare très bien l’étude des carrés de Franklin, où la magie se déplace vers des parcours diagonaux plus subtils.
C’est une méthode à la fois simple, visuelle et fertile : elle ne ferme pas le problème, elle ouvre une piste de recherche.
Pour poursuivre
Cet article prolonge naturellement la construction des carrés gréco-latins. Il peut aussi être lu comme une étape intermédiaire avant l’étude des transformations de type Franklin : permutations de bandes, diagonales brisées, symétries complémentaires et tests automatisés.
Il s’inscrit dans le panorama général des méthodes de construction des carrés magiques.
Sources et prolongements
- Gérard Villemin, « Carrés magiques : gréco-latins alternés ».
- Gérard Villemin, « Carrés gréco-latins construction ».
- Benjamin Franklin, carrés magiques d’ordre 8 et propriétés associées.