Carrés magiques concentriques : construire par couronnes successives

Un carré magique qui contient d’autres carrés magiques

Un carré magique classique impose une condition globale : chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales doivent donner la même somme.

Un carré magique concentrique, aussi appelé carré magique à enceintes, ajoute une contrainte plus forte. Si l’on retire sa bordure extérieure, le carré central restant doit encore être magique. Puis, si l’on retire à nouveau une bordure, le nouveau carré central doit encore être magique.

Pour un carré impair d’ordre 7, on obtient donc trois niveaux :

7×7 → 5×5 → 3×3

Chaque niveau est un carré magique centré sur le même pivot.

Exemple : un carré concentrique d’ordre 7

Voici un exemple d’ordre 7 :

10	45	44	7	11	12	46
9	19	34	17	20	35	41
8	18	24	23	28	32	42
49	37	29	25	21	13	1
48	36	22	27	26	14	2
47	15	16	33	30	31	3
4	5	6	43	39	38	40

Le carré complet utilise les entiers de 1 à 49. Sa constante magique est :

175

Mais sa propriété la plus intéressante est ailleurs : son cœur 5×5 est lui aussi magique, et le cœur du cœur, en 3×3, l’est également.

Visualisation interactive

Carré magique concentrique d’ordre 7

Cliquer sur une couche pour isoler le cœur 3×3, le sous-carré 5×5, puis le carré complet 7×7. Chaque carré centré possède sa propre constante magique.

Centre 3×3 5×5 7×7 Toutes les couronnes

10

45

44

7

11

12

46

9

19

34

17

20

35

41

8

18

24

23

28

32

42

49

37

29

25

21

13

1

48

36

22

27

26

14

2

47

15

16

33

30

31

3

4

5

6

43

39

38

40

Centre Cœur 3×3 Couronne 5×5 Couronne 7×7

Les trois constantes concentriques

Dans cet exemple, le centre vaut :

25

Les constantes magiques des sous-carrés centraux sont alors :

Sous-carré	Constante
3×3	75
5×5	125
7×7	175

On remarque immédiatement la loi :

3 × 25 = 75
5 × 25 = 125
7 × 25 = 175

Pour un carré normal d’ordre impair n, le pivot central vaut :

centre = (n² + 1) / 2

Si un sous-carré central d’ordre impair k est magique et reste centré sur ce pivot, sa constante vaut :

M_k = k × centre

Dans le cas de l’ordre 7, le centre vaut 25, donc les constantes sont 3×25, 5×25 et 7×25.

Pourquoi les couches utilisent des intervalles centrés

Dans un carré normal d’ordre 7, les nombres vont de 1 à 49. Le centre arithmétique de cet intervalle est 25.

Le sous-carré central 3×3 utilise ici les nombres de 21 à 29. Le sous-carré central 5×5 utilise les nombres de 13 à 37. Le carré complet 7×7 utilise évidemment les nombres de 1 à 49.

On peut donc lire la structure ainsi :

3×3 : 21 à 29
5×5 : 13 à 37
7×7 : 1 à 49

Chaque agrandissement ajoute une nouvelle couronne composée de deux bandes de nombres : une bande basse et une bande haute, symétriques autour du centre.

Pour l’ordre 7, les paires complémentaires ont toutes pour somme :

50

car :

1 + 49 = 50
2 + 48 = 50
...
24 + 26 = 50

Cette idée de complémentarité est essentielle : elle permet d’équilibrer les bordures, les lignes et les colonnes autour du pivot.

Principe d’une construction par couronnes

Une construction concentrique peut être pensée comme un édifice que l’on agrandit de l’intérieur vers l’extérieur.

Étape 1 : construire le cœur

On commence par un carré magique d’ordre 3, mais centré autour du pivot global. Pour l’ordre 7, le pivot est 25, donc le cœur utilise les nombres de 21 à 29.

Le cœur 3×3 de notre exemple est :

24	23	28
29	25	21
22	27	26

Chaque ligne, colonne et diagonale donne 75.

Étape 2 : ajouter une couronne pour former le 5×5

On ajoute ensuite une couronne autour du 3×3. Cette couronne utilise les nombres immédiatement extérieurs à l’intervalle 21..29, c’est-à-dire ici :

13 à 20 et 30 à 37

Le nouveau carré central 5×5 devient magique, avec constante 125.

Étape 3 : ajouter la couronne externe

On ajoute enfin la couronne extérieure, composée des nombres restants :

1 à 12 et 38 à 49

Le carré complet 7×7 devient magique, avec constante 175.

Une logique extensible aux ordres impairs

Le même principe peut être appliqué aux ordres impairs supérieurs :

9×9 → 7×7 → 5×5 → 3×3
11×11 → 9×9 → 7×7 → 5×5 → 3×3
13×13 → 11×11 → 9×9 → 7×7 → 5×5 → 3×3

Pour chaque ordre global impair n, le pivot central vaut :

(n² + 1) / 2

Les constantes des sous-carrés centraux sont les multiples impairs de ce pivot.

Ordre global	Pivot	Constantes concentriques
7	25	175 → 125 → 75
9	41	369 → 287 → 205 → 123
11	61	671 → 549 → 427 → 305 → 183
13	85	1105 → 935 → 765 → 595 → 425 → 255
15	113	1695 → 1469 → 1243 → 1017 → 791 → 565 → 339

Ce tableau ne donne pas une grille complète pour chaque ordre. Il donne la structure attendue des constantes si le carré concentrique est correctement construit.

Racines historiques : carrés à enceintes

La notion de carré magique à enceintes est ancienne.

On trouve mention d’une méthode de construction de carrés magiques à enceintes d’ordre pair et impair dans la tradition arabo-orientale, notamment dans le traité attribué à El-Bouni, mort en 1225. Cette tradition a été analysée par Carra de Vaux au XXe siècle.

Il faut rester prudent : cela ne signifie pas que chaque grille particulière que nous manipulons aujourd’hui vient directement de ce traité. Mais cela montre que l’idée des carrés à enceintes était connue bien avant certaines reprises européennes plus tardives.

Pour Mystimath, cette prudence est importante : nous pouvons documenter la famille historique des carrés à enceintes, tout en présentant nos grilles comme des exemples vérifiés et visualisés.

Construire n’est pas seulement remplir

La difficulté d’un carré concentrique ne réside pas seulement dans la magie du carré complet. Il faut aussi préserver la magie de chaque sous-carré central.

Autrement dit, il ne suffit pas d’obtenir :

7×7 magique

Il faut obtenir simultanément :

3×3 magique
5×5 magique
7×7 magique

Pour les ordres supérieurs, la contrainte devient encore plus forte. Un carré d’ordre 11, par exemple, doit contenir un 9×9, un 7×7, un 5×5 et un 3×3 magiques.

Vérifier un carré concentrique

Voici un script Python minimal pour vérifier la propriété concentrique d’un carré impair.

def check_magic(square):
    n = len(square)
    constant = sum(square[0])

    rows = [sum(row) for row in square]
    cols = [sum(square[r][c] for r in range(n)) for c in range(n)]
    diag1 = sum(square[i][i] for i in range(n))
    diag2 = sum(square[i][n - 1 - i] for i in range(n))

    return all(value == constant for value in rows + cols + [diag1, diag2]), constant


def central_subsquare(square, size):
    n = len(square)
    start = (n - size) // 2
    end = start + size

    return [row[start:end] for row in square[start:end]]


def check_concentric(square):
    n = len(square)

    if n % 2 == 0:
        raise ValueError("Ce vérificateur vise les ordres impairs.")

    values = [x for row in square for x in row]
    expected = set(range(1, n * n + 1))

    if set(values) != expected:
        return False, "Le carré n’utilise pas exactement les entiers de 1 à n²."

    results = []

    for size in range(3, n + 1, 2):
        sub = central_subsquare(square, size)
        ok, constant = check_magic(sub)
        results.append((size, ok, constant))

    return all(ok for _, ok, _ in results), results


square7 = [
    [10, 45, 44, 7, 11, 12, 46],
    [9, 19, 34, 17, 20, 35, 41],
    [8, 18, 24, 23, 28, 32, 42],
    [49, 37, 29, 25, 21, 13, 1],
    [48, 36, 22, 27, 26, 14, 2],
    [47, 15, 16, 33, 30, 31, 3],
    [4, 5, 6, 43, 39, 38, 40],
]

print(check_concentric(square7))

Vers les ordres 9, 11, 13 et 15

La suite naturelle du chantier Mystimath sera de produire ou valider des carrés concentriques d’ordres supérieurs.

L’objectif n’est pas seulement de trouver une grille. Il faut que chaque grille soit accompagnée d’un statut clair :

proposée
testée
vérifiée
publiable

Avant publication, chaque carré devra passer par plusieurs vérifications :

1. tous les entiers de 1 à n² sont présents ;
2. aucun doublon ;
3. la grille complète est magique ;
4. chaque sous-carré central impair est magique ;
5. les constantes correspondent à la loi k × centre.

Les ordres 9, 11, 13 et 15 peuvent ainsi devenir une petite collection de structures concentriques dans Mystimath, avec visualisation par couches.

Conclusion

Les carrés magiques concentriques révèlent une autre manière de lire les carrés magiques. Ils ne sont pas seulement des grilles équilibrées : ce sont des structures imbriquées.

Chaque bordure ajoute une couche. Chaque couche doit conserver l’équilibre. Le carré complet devient alors une sorte d’architecture numérique : un cœur, des enceintes, des couronnes et une constante qui change avec l’ordre affiché, mais reste toujours attachée au même pivot central.