Combien existe-t-il de carrés magiques normaux d’ordre n ?

Une question simple, une réponse immense

Quand on découvre les carrés magiques, la première question est souvent constructive :

Comment remplir une grille pour que chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale donne la même somme ?

Mais une autre question apparaît très vite :

Combien existe-t-il de carrés magiques normaux d’ordre n ?

Cette question paraît élémentaire. Elle ne l’est pas. Elle appartient à la combinatoire des objets discrets, là où une définition très courte peut conduire à des nombres gigantesques et à des calculs très lourds.

Dans cet article, nous parlons des carrés magiques normaux, c’est-à-dire des carrés d’ordre n remplis avec tous les entiers de 1 à n², chacun utilisé une seule fois.

La somme magique d’un carré normal d’ordre n est :

M = n × (n² + 1) / 2

Par exemple :

Ordre	Nombres utilisés	Constante magique
3	1 à 9	15
4	1 à 16	34
5	1 à 25	65
6	1 à 36	111
7	1 à 49	175

Compter sans compter plusieurs fois la même forme

Avant de donner les nombres, il faut préciser ce que l’on compte.

Un carré magique peut être tourné ou réfléchi sans perdre sa magie. Une rotation de 90°, 180° ou 270° conserve les sommes. Une réflexion horizontale, verticale ou diagonale les conserve aussi.

Ainsi, un même carré peut produire jusqu’à huit images :

1. carré original
2. rotation 90°
3. rotation 180°
4. rotation 270°
5. réflexion horizontale
6. réflexion verticale
7. réflexion diagonale principale
8. réflexion diagonale secondaire

Dans la suite utilisée ici, ces huit formes sont considérées comme une seule famille. On dit que les carrés sont comptés à rotations et réflexions près.

C’est une convention naturelle : on ne veut pas recompter huit fois le même objet simplement parce qu’on l’a regardé dans un miroir ou tourné sur la table.

Les valeurs connues

La suite OEIS A006052 donne le nombre de carrés magiques normaux d’ordre n, composés des nombres 1 à n², comptés à rotations et réflexions près.

Les valeurs connues sont :

n	Nombre de carrés magiques normaux, rotations et réflexions exclues
1	1
2	0
3	1
4	880
5	275 305 224
6	17 753 889 197 660 635 632

La progression est brutale. Entre l’ordre 3 et l’ordre 4, on passe de l’unicité à 880 classes. Entre l’ordre 4 et l’ordre 5, on passe de 880 à plus de 275 millions. À l’ordre 6, on entre dans un nombre de vingt chiffres.

Cette visualisation n’est pas une échelle linéaire. Si elle l’était, les barres des ordres 1 à 5 seraient pratiquement invisibles devant celle de l’ordre 6. Elle sert seulement à rendre sensible la montée combinatoire.

Pourquoi l’ordre 2 donne zéro

Le cas n = 2 est impossible.

Un carré normal d’ordre 2 utiliserait les nombres 1, 2, 3, 4. Sa constante magique serait :

M = 2 × (2² + 1) / 2 = 5

Chaque ligne et chaque colonne devrait donc sommer à 5.

Or les seules paires possibles de nombres distincts donnant 5 sont :

1 + 4 = 5
2 + 3 = 5

Ces contraintes forcent trop vite la structure. Dès que l’on place une paire dans une ligne, les colonnes et les diagonales deviennent incompatibles. Il n’existe donc aucun carré magique normal d’ordre 2.

Pourquoi l’ordre 3 donne un seul carré

À l’ordre 3, il existe un unique carré magique normal, à rotations et réflexions près : le carré de Lo Shu.

Une de ses formes classiques est :

2	7	6
9	5	1
4	3	8

Toutes les autres versions normales d’ordre 3 s’obtiennent par rotation ou par réflexion de ce carré.

Ce résultat est important : l’ordre 3 donne l’impression que les carrés magiques sont rares, presque rigides. Mais l’ordre 4 montre immédiatement que cette impression est trompeuse.

L’ordre 4 : les 880 carrés de Frénicle

À l’ordre 4, il existe 880 carrés magiques normaux, à rotations et réflexions près.

Ce nombre est célèbre. Il est associé à Bernard Frénicle de Bessy, qui publie au XVIIe siècle une table générale des carrés de quatre. Ces 880 formes sont encore aujourd’hui un repère historique majeur dans l’étude des carrés magiques.

Si l’on compte aussi les rotations et réflexions, on obtient généralement huit images pour chaque carré fondamental. Les 880 classes correspondent donc à 7040 carrés orientés dans le comptage le plus courant.

L’ordre 4 marque un changement d’échelle : on quitte l’objet unique pour entrer dans une véritable population de structures.

L’ordre 5 : plus de 275 millions

À l’ordre 5, le nombre devient :

275 305 224

Ce résultat est attribué à Richard C. Schroeppel, au début des années 1970.

Ce nombre est déjà trop grand pour une approche artisanale. On ne peut plus imaginer “lister” les carrés comme on le ferait pour l’ordre 4. Il faut des méthodes de classification, des formes réduites, des contraintes fortes et des calculs systématiques.

Ce passage de 880 à plus de 275 millions donne une idée de la croissance extrêmement rapide du problème.

L’ordre 6 : un dénombrement devenu gigantesque

Pour l’ordre 6, la valeur exacte indiquée dans la suite A006052 est :

17 753 889 197 660 635 632

Ce nombre est immense. Il correspond aux carrés magiques normaux d’ordre 6, à rotations et réflexions près.

Pendant longtemps, l’ordre 6 n’était pas connu exactement. Des estimations probabilistes existaient, notamment par des méthodes de type Monte Carlo. La valeur exacte a été ajoutée récemment à la suite après les travaux de Hidetoshi Mino.

Ce cas montre que le dénombrement des carrés magiques n’est pas seulement une curiosité ancienne. C’est encore un sujet où les algorithmes, la puissance de calcul et l’organisation des contraintes jouent un rôle déterminant.

Pourquoi le comptage est si difficile

Un carré magique normal d’ordre n est une permutation des nombres de 1 à n².

Sans aucune contrainte, il existe :

(n²)!

façons de placer ces nombres dans la grille.

Pour n = 6, cela signifie :

36!

possibilités brutes, avant même de tester les lignes, colonnes et diagonales.

Les contraintes magiques éliminent presque tout, mais elles ne le font pas de façon simple. Les lignes, les colonnes et les diagonales sont liées entre elles. Un choix local peut bloquer toute la construction plusieurs étapes plus tard.

C’est ce mélange qui rend le problème difficile :

• trop de permutations possibles ;
• trop de contraintes croisées ;
• beaucoup de symétries à éviter ;
• des familles particulières faciles à construire, mais qui ne représentent qu’une partie du total ;
• une frontière floue entre construction, classification et énumération exhaustive.

Et pour l’ordre 7 ?

L’ordre 7 est particulièrement intéressant pour Mystimath, car on sait construire facilement des carrés d’ordre 7 avec des méthodes classiques, comme la méthode siamoise ou certaines méthodes de cavalier.

Mais construire un exemple n’est pas la même chose que compter tous les exemples.

La valeur exacte du nombre total de carrés magiques normaux d’ordre 7 n’est pas connue dans la suite A006052. On connaît en revanche des résultats exacts pour certaines sous-familles, par exemple les carrés associatifs d’ordre 7, mais cela ne donne pas le nombre total de tous les carrés magiques normaux d’ordre 7.

C’est une distinction importante :

Une méthode de construction donne une porte d’entrée dans le monde des carrés magiques.
Un dénombrement complet cherche à compter tout le monde.

Entre les deux, il y a un gouffre combinatoire.

Construire n’est pas compter

Les méthodes de construction donnent souvent une impression trompeuse. Une méthode peut produire un carré très vite, parfois même une infinité de variantes pour certains ordres. Mais cela ne signifie pas qu’elle décrit tous les carrés possibles.

Par exemple :

• la méthode siamoise construit des carrés d’ordre impair ;
• la méthode des compléments construit des carrés doublement pairs ;
• certaines méthodes par blocs construisent des carrés d’ordre pair ;
• les carrés gréco-latins donnent des familles très structurées ;
• les carrés de Franklin ou pandiagonaux imposent encore plus de propriétés.

Toutes ces méthodes sont précieuses, mais elles ne couvrent pas nécessairement l’ensemble des carrés normaux d’un ordre donné.

Le dénombrement complet demande autre chose : il faut éviter les doublons, gérer les symétries, prouver que rien n’a été oublié et compter toutes les structures admissibles.

Une suite courte, mais vertigineuse

La suite connue est très courte :

1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632

Elle est courte parce que le problème est difficile, non parce qu’il manque d’intérêt.

Elle raconte en quelques termes une histoire complète :

ordre 1 : trivial
ordre 2 : impossible
ordre 3 : unique
ordre 4 : historique
ordre 5 : calcul massif
ordre 6 : frontière algorithmique récente
ordre 7 : territoire encore largement ouvert

C’est ce qui rend les carrés magiques si fascinants : ils sont faciles à définir, faciles à expérimenter, mais extrêmement difficiles à compter.

Petit script Python de vérification

Voici un script minimal pour vérifier qu’un carré normal donné est bien magique.

def is_normal_magic_square(square):
    n = len(square)
    values = [x for row in square for x in row]

    expected_values = set(range(1, n * n + 1))
    if set(values) != expected_values:
        return False, "Les valeurs ne sont pas exactement les entiers de 1 à n²."

    magic_constant = n * (n * n + 1) // 2

    rows = [sum(row) for row in square]
    cols = [sum(square[r][c] for r in range(n)) for c in range(n)]
    diag1 = sum(square[i][i] for i in range(n))
    diag2 = sum(square[i][n - 1 - i] for i in range(n))

    all_sums = rows + cols + [diag1, diag2]

    if all(value == magic_constant for value in all_sums):
        return True, f"Carré magique normal d’ordre {n}, constante {magic_constant}."

    return False, {
        "constante_attendue": magic_constant,
        "lignes": rows,
        "colonnes": cols,
        "diagonales": [diag1, diag2],
    }


lo_shu = [
    [2, 7, 6],
    [9, 5, 1],
    [4, 3, 8],
]

print(is_normal_magic_square(lo_shu))

Conclusion

Le nombre de carrés magiques normaux d’ordre n est l’une des questions les plus simples à formuler et les plus difficiles à pousser loin.

Pour les petits ordres, la situation paraît claire : rien en ordre 2, un seul carré en ordre 3, 880 en ordre 4. Mais dès l’ordre 5, les nombres deviennent énormes. À l’ordre 6, ils atteignent une dimension qui exige des méthodes de calcul très spécialisées.

Cette progression rappelle une idée essentielle de Mystimath : les structures magiques ne sont pas seulement des curiosités décoratives. Ce sont aussi des objets combinatoires profonds, à la frontière entre jeu, histoire des mathématiques, algorithmique et recherche expérimentale.

Références

• OEIS, A006052, Number of magic squares of order n composed of the numbers from 1 to n², counted up to rotations and reflections.
• Bernard Frénicle de Bessy, Des carrez ou tables magiques, 1693.
• Bernard Frénicle de Bessy, Table générale des carrez de quatre, 1693.
• Walter Trump, How many magic squares are there?
• Hidetoshi Mino, The number of magic squares of order 6.
• K. Pinn et C. Wieczerkowski, Number of magic squares from parallel tempering Monte Carlo, 1998.