Méthode de La Hire : construire des carrés magiques par décomposition

La méthode de La Hire appartient à la famille des méthodes classiques de construction des carrés magiques. Elle est particulièrement intéressante parce qu’elle ne commence pas par placer directement les nombres de 1 à n².

Elle commence par les décomposer.

Au lieu de voir un nombre comme une seule valeur, on le regarde comme la somme de deux parties :

nombre final = partie principale + partie racine

Cette idée est très proche d’une écriture en base n. Pour un carré d’ordre n, les nombres de 1 à n² peuvent être obtenus en combinant :

1, 2, 3, ..., n

avec :

0, n, 2n, 3n, ..., (n - 1)n

Chaque nombre final est alors de la forme :

nombre = petite valeur + bloc de taille n

Par exemple, pour un carré 4×4, les petites valeurs sont :

1, 2, 3, 4

et les blocs sont :

0, 4, 8, 12

En additionnant une petite valeur et un bloc, on peut produire tous les nombres de 1 à 16.

La magie de la méthode consiste à organiser ces deux couches de façon que les sommes soient équilibrées avant même l’addition finale.

L’idée générale

On construit deux grilles de même taille.

La première grille contient les valeurs principales :

1, 2, 3, ..., n

La seconde grille contient d’abord une autre disposition des mêmes valeurs, puis ces valeurs sont transformées en valeurs racines :

1 → 0
2 → n
3 → 2n
...
n → (n - 1)n

Ensuite, on additionne les deux grilles case par case.

Si les deux grilles sont bien choisies, alors :

• chaque ligne du carré final a la même somme ;
• chaque colonne du carré final a la même somme ;
• les deux diagonales principales ont aussi cette même somme.

Pour un carré magique normal d’ordre n, la constante magique vaut :

M = n × (n² + 1) / 2

Pour n = 4, cette constante vaut :

M = 4 × (16 + 1) / 2 = 34

Nous allons reconstruire un carré 4×4 complet avec cette méthode.

Étape 1 — construire la grille principale

On commence par une grille 4×4 remplie avec les valeurs 1, 2, 3, 4.

La première grille utilisée ici est :

1	3	2	4
4	2	3	1
4	2	3	1
1	3	2	4

Chaque ligne vaut 10 :

1 + 3 + 2 + 4 = 10
4 + 2 + 3 + 1 = 10

Chaque colonne vaut aussi 10 :

1 + 4 + 4 + 1 = 10
3 + 2 + 2 + 3 = 10
2 + 3 + 3 + 2 = 10
4 + 1 + 1 + 4 = 10

Les deux diagonales valent également 10 :

1 + 2 + 3 + 4 = 10
4 + 3 + 2 + 1 = 10

Cette grille n’est pas encore un carré magique, car elle répète les nombres 1, 2, 3, 4. Mais elle possède déjà une propriété essentielle : elle est équilibrée.

Étape 2 — construire une seconde grille équilibrée

On construit maintenant une seconde grille, toujours avec les valeurs 1, 2, 3, 4, mais selon une organisation différente :

1	4	4	1
3	2	2	3
2	3	3	2
4	1	1	4

Elle aussi est équilibrée.

Chaque ligne vaut 10 :

1 + 4 + 4 + 1 = 10
3 + 2 + 2 + 3 = 10
2 + 3 + 3 + 2 = 10
4 + 1 + 1 + 4 = 10

Chaque colonne vaut 10 :

1 + 3 + 2 + 4 = 10
4 + 2 + 3 + 1 = 10
4 + 2 + 3 + 1 = 10
1 + 3 + 2 + 4 = 10

Et les deux diagonales valent aussi 10.

À ce stade, nous avons deux grilles équilibrées, mais aucune ne contient les nombres de 1 à 16. La prochaine étape consiste à transformer la seconde grille en grille de blocs.

Étape 3 — transformer la seconde grille en grille racine

Pour un carré 4×4, les valeurs racines sont :

0, 4, 8, 12

On applique donc la conversion suivante :

Valeur initiale	Valeur racine
1	0
2	4
3	8
4	12

La seconde grille :

1	4	4	1
3	2	2	3
2	3	3	2
4	1	1	4

se transforme alors en :

0	12	12	0
8	4	4	8
4	8	8	4
12	0	0	12

Cette grille ne contient plus les petites valeurs 1, 2, 3, 4. Elle contient les blocs qui permettront de répartir les nombres entre 1 et 16.

Étape 4 — additionner les deux grilles

On additionne maintenant la grille principale et la grille racine case par case.

Grille principale :

1	3	2	4
4	2	3	1
4	2	3	1
1	3	2	4

Grille racine :

0	12	12	0
8	4	4	8
4	8	8	4
12	0	0	12

Somme finale :

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

Nous obtenons bien les nombres de 1 à 16, chacun une seule fois.

Vérification des sommes

La constante magique attendue est 34.

Les lignes donnent :

1 + 15 + 14 + 4 = 34
12 + 6 + 7 + 9 = 34
8 + 10 + 11 + 5 = 34
13 + 3 + 2 + 16 = 34

Les colonnes donnent :

1 + 12 + 8 + 13 = 34
15 + 6 + 10 + 3 = 34
14 + 7 + 11 + 2 = 34
4 + 9 + 5 + 16 = 34

Les diagonales donnent :

1 + 6 + 11 + 16 = 34
4 + 7 + 10 + 13 = 34

Le carré obtenu est donc bien magique.

Une propriété supplémentaire : le carré est associé

Ce carré possède une propriété très agréable : deux cases opposées par rapport au centre donnent toujours 17.

Par exemple :

1 + 16 = 17
15 + 2 = 17
14 + 3 = 17
4 + 13 = 17
6 + 11 = 17
7 + 10 = 17

Un carré magique ayant cette propriété est souvent appelé carré associé ou carré régulier.

Cette propriété n’est pas un hasard. Elle vient du fait que les deux grilles de départ sont construites avec des symétries complémentaires.

Pourquoi cette méthode fonctionne

La méthode fonctionne parce qu’elle sépare deux contraintes qui sont habituellement mélangées.

D’un côté, la grille principale contrôle les petites valeurs :

1, 2, 3, 4

De l’autre, la grille racine contrôle les blocs :

0, 4, 8, 12

Dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale, les contributions des deux grilles sont constantes.

Pour le carré 4×4, la grille principale apporte toujours 10.

La grille racine apporte toujours 24.

La somme finale vaut donc toujours :

10 + 24 = 34

L’avantage de cette approche est sa clarté : au lieu de vérifier directement toutes les sommes du carré final, on comprend que la magie est déjà contenue dans les deux couches préparatoires.

Une lecture en base 4

Le carré final peut être lu comme une écriture en base 4 légèrement décalée.

Chaque nombre final est construit par :

nombre = a + 4 × (b - 1)

où :

a ∈ {1, 2, 3, 4}
b ∈ {1, 2, 3, 4}

La valeur a donne la position dans le bloc. La valeur b indique le bloc.

Ainsi :

1 + 4 × (1 - 1) = 1
3 + 4 × (4 - 1) = 15
2 + 4 × (4 - 1) = 14
4 + 4 × (1 - 1) = 4

Cette lecture rapproche la méthode de La Hire des méthodes par couples, par carrés latins ou par carrés gréco-latins. La différence est que La Hire organise les deux couches selon une logique spécialement conçue pour obtenir les sommes magiques.

Script Python de vérification

Voici un petit script pour vérifier le carré construit ci-dessus.

square = [
    [1, 15, 14, 4],
    [12, 6, 7, 9],
    [8, 10, 11, 5],
    [13, 3, 2, 16],
]

n = len(square)
magic_sum = n * (n * n + 1) // 2

rows = [sum(row) for row in square]
cols = [sum(square[i][j] for i in range(n)) for j in range(n)]
diag1 = sum(square[i][i] for i in range(n))
diag2 = sum(square[i][n - 1 - i] for i in range(n))
values = sorted(x for row in square for x in row)

print("Constante magique attendue :", magic_sum)
print("Lignes :", rows)
print("Colonnes :", cols)
print("Diagonales :", diag1, diag2)
print("Nombres utilisés :", values)

assert rows == [magic_sum] * n
assert cols == [magic_sum] * n
assert diag1 == magic_sum
assert diag2 == magic_sum
assert values == list(range(1, n * n + 1))

print("Carré magique vérifié.")

Ce script vérifie quatre choses :

1. les lignes ;
2. les colonnes ;
3. les diagonales ;
4. la présence exacte des nombres de 1 à 16.

Généralisation de l’idée

Pour un ordre pair n, la méthode peut être pensée ainsi :

carré final = grille A + n × (grille B - 1)

avec :

A : grille de petites valeurs 1 à n
B : grille indiquant les blocs 1 à n

Le rôle de A est de fournir la partie basse du nombre. Le rôle de B est de fournir la partie haute.

Mais il ne suffit pas de choisir deux grilles quelconques.

Il faut que les deux grilles soient construites avec soin, afin que leurs lignes, colonnes et diagonales aient les bonnes sommes. C’est cette contrainte qui fait de la méthode de La Hire une vraie méthode de construction, et non une simple opération d’addition.

Cas des ordres plus grands

L’exemple 4×4 est le plus simple à présenter. Pour des ordres pairs plus grands, la méthode demande davantage de préparation.

Dans les constructions classiques, on distingue notamment :

ordres 4p       : 4, 8, 12, 16, ...
ordres 4p + 2   : 6, 10, 14, 18, ...

Les carrés d’ordre 4p acceptent souvent des méthodes symétriques très directes. Les carrés d’ordre 4p + 2, comme 6×6 ou 10×10, sont plus délicats. Ils nécessitent des arrangements plus fins des deux grilles préparatoires.

C’est pourquoi les anciens traités séparent souvent les méthodes selon la parité et selon le type d’ordre pair.

La méthode de La Hire a surtout un intérêt conceptuel : elle montre que la construction d’un carré magique peut être ramenée à la construction de deux carrés auxiliaires équilibrés.

Lien avec les carrés latins et gréco-latins

La méthode de La Hire fait naturellement penser aux carrés latins.

Dans un carré latin, chaque symbole apparaît une fois par ligne et une fois par colonne. Dans la méthode de La Hire, on ne demande pas forcément cette condition stricte, mais on cherche une contrainte voisine : obtenir des sommes constantes dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale.

On peut donc voir cette méthode comme une passerelle entre :

méthodes arithmétiques classiques
méthodes par symétrie
méthodes par carrés latins
méthodes par superposition

C’est aussi pour cela qu’elle mérite une place dans un panorama des méthodes de construction : elle ne se réduit pas à une recette, elle propose une véritable décomposition de la structure du carré magique.

Ce qu’il faut retenir

La méthode de La Hire repose sur quatre idées simples :

1. décomposer les nombres en deux parties ;
2. construire deux grilles auxiliaires équilibrées ;
3. transformer l’une des grilles en blocs multiples de n ;
4. additionner les deux grilles case par case.

L’exemple 4×4 montre parfaitement le mécanisme :

petites valeurs : 1, 2, 3, 4
valeurs racines : 0, 4, 8, 12
somme finale    : nombres de 1 à 16

La beauté de la méthode vient du fait que la magie du carré final est préparée en amont. Le carré final n’est que la superposition visible de deux équilibres plus discrets.

Sources documentaires

• Gérard Villemin, pages consacrées aux méthodes de construction des carrés magiques, aux carrés latins, aux carrés gréco-latins et aux constructions par symétrie.
• W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes, seconde édition révisée et augmentée, chapitre sur la construction des carrés magiques pairs par la méthode de De La Hire.