Qu’est-ce qu’un carré magique ?

Un carré magique est une disposition de nombres dans une grille carrée. Sa particularité est simple à énoncer, mais rapidement profonde : les sommes obtenues sur chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales sont identiques.

Cette somme commune est appelée constante magique.

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Définition d’un carré magique

Un carré magique d’ordre ( n ) est une grille de ( n \times n ) nombres dans laquelle chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales donnent la même somme.

La constante magique

Dans un carré magique normal d’ordre ( n ), on utilise généralement les entiers de ( 1 ) à ( n^2 ). La somme totale de ces nombres est :

Somme des entiers de 1 à n²

Somme totale des nombres utilisés dans un carré magique normal.

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n^2 = \frac{n^2(n^2 + 1)}{2}$$

Comme cette somme totale est répartie sur ( n ) lignes ayant chacune la même somme, la constante magique est :

Constante magique d’un carré normal

Formule générale pour un carré magique normal d’ordre n.

$$M = \frac{n(n^2 + 1)}{2}$$

Pour un carré d’ordre ( 3 ), on obtient :

$$M = \frac{3(3^2 + 1)}{2} = 15$$

Pourquoi la formule fonctionne ?

La somme des entiers de ( 1 ) à ( n^2 ) vaut :

$$\frac{n^2(n^2 + 1)}{2}$$

Dans un carré magique, cette somme est répartie en ( n ) lignes de somme identique. Il suffit donc de diviser la somme totale par ( n ). On obtient :

$$M = \frac{n^2(n^2 + 1)}{2n} = \frac{n(n^2 + 1)}{2}$$

Propriété minimale

Dans un carré magique normal, les sommes des ( n ) lignes, des ( n ) colonnes et des deux diagonales principales sont égales à la constante magique.

Le carré Lo Shu

Le carré présenté ci-dessus est le célèbre carré Lo Shu, souvent cité comme l’un des plus anciens exemples connus de carré magique.

Il est d’ordre ( 3 ), contient les nombres de 1 à 9, et chaque ligne, colonne ou diagonale donne la somme 15.

Fiche de structure

La fiche détaillée du carré Lo Shu est disponible dans la base de structures : voir la fiche Lo Shu.

Carré magique, semi-magique et carré normal

Il est utile de distinguer plusieurs notions.

Un carré semi-magique impose généralement l’égalité des sommes sur les lignes et les colonnes, mais pas nécessairement sur les diagonales.

Un carré magique ajoute l’égalité des deux diagonales principales.

Un carré magique normal utilise les entiers de ( 1 ) à ( n^2 ), chacun une seule fois.

Carré magique normal

Un carré magique normal d’ordre ( n ) contient tous les entiers de ( 1 ) à ( n^2 ), sans répétition, et respecte l’égalité des sommes sur les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales.

Au-delà du carré magique simple

Les carrés magiques peuvent ensuite être étudiés selon des propriétés plus exigeantes :

• carrés associatifs ;
• carrés pandiagonaux ;
• carrés bimagiques ;
• carrés trimagiques ;
• carrés multimagiques.

Dans les carrés bimagiques, par exemple, les sommes restent magiques après élévation des nombres au carré. Dans les carrés trimagiques, cette propriété s’étend aussi aux cubes.

Travaux en cours

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Conclusion

Le carré magique est une porte d’entrée simple vers un univers beaucoup plus vaste. Derrière une grille apparemment élémentaire se cachent des questions de symétrie, de construction, de vérification, de visualisation et parfois même de recherche expérimentale.