Le carré magique 3×3 de carrés : un problème toujours ouvert

Un problème très simple à énoncer

Un carré magique 3×3 est une grille de neuf nombres organisée de telle sorte que les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales aient toutes la même somme.

Le carré magique classique d’ordre 3 est bien connu. Mais une question beaucoup plus difficile consiste à demander si les neuf cases peuvent être des carrés parfaits distincts.

Autrement dit, existe-t-il un carré magique de la forme suivante ?

a²  b²  c²
d²  e²  f²
g²  h²  i²

avec neuf carrés parfaits distincts, et avec une même somme sur toutes les lignes, colonnes et diagonales ?

À ce jour, aucun exemple complet n’est connu.

Pourquoi le cas 3×3 est déjà difficile

Le carré 3×3 semble petit. Pourtant, il impose beaucoup de contraintes.

Dans tout carré magique 3×3, le centre joue un rôle particulier. Si le centre vaut e, alors la somme magique vaut nécessairement :

3e

Les cases opposées autour du centre doivent aussi être liées deux à deux :

case opposée 1 + case opposée 2 = 2e

Si toutes les cases doivent être des carrés parfaits, ces relations deviennent des contraintes arithmétiques très fortes. Elles imposent notamment l’apparition de progressions arithmétiques de carrés.

C’est ce mélange entre une structure très rigide et des carrés parfaits qui rend le problème difficile.

Le carré de Bremner

Le meilleur exemple connu contient 7 carrés parfaits sur 9. Il est attribué à Andrew Bremner.

373² 139129

360721 360721

205² 42025

289² 83521

425² 180625

527² 277729

565² 319225

23² 529

222121 222121

Lignes : 541875 · 541875 · 541875

Colonnes : 541875 · 541875 · 541875

Diagonales : 541875 · 541875

• Ce carré magique contient 7 carrés parfaits distincts sur 9.
• Il ne constitue pas une solution complète au problème des 9 carrés.
• Les deux diagonales, les trois lignes et les trois colonnes ont la même somme magique.
• Les dilatations par facteur carré commun ne sont pas considérées comme de nouveaux exemples fondamentaux.

Ce carré est bien magique : les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales ont toutes la même somme.

Sa somme magique est :

541875

Il contient sept carrés parfaits :

373², 205², 289², 425², 527², 565², 23²

et deux cases non carrées :

360721, 222121

Il ne résout donc pas le problème complet, mais il constitue un repère important : il montre que l’on peut s’approcher très près d’un carré magique 3×3 entièrement composé de carrés.

Ce que signifie “7 sur 9”

Dire qu’un carré contient 7 carrés sur 9 ne veut pas dire qu’il est presque magique. Le carré de Bremner est déjà un véritable carré magique.

Ce qui manque, ce n’est pas la magie de la grille, mais le fait que deux de ses entrées ne sont pas des carrés parfaits.

On distingue donc trois niveaux :

carré magique classique       : toutes les sommes sont bonnes
carré magique avec 7 carrés   : la grille est magique, 7 cases sont carrées
carré magique de carrés       : la grille est magique, les 9 cases sont carrées

Le dernier niveau est le problème ouvert.

Pourquoi les multiples ne comptent pas comme de nouveaux exemples

Si l’on multiplie toutes les cases du carré de Bremner par un carré parfait commun, par exemple 4, on obtient encore un carré magique avec 7 carrés.

Mais ce n’est pas une nouvelle structure fondamentale. C’est simplement une dilatation.

Par exemple :

425² devient 850²
373² devient 746²
23² devient 46²

La forme reste la même. Dans nos recherches expérimentales, ces copies sont donc écartées à l’aide d’un filtre de primitivité.

Une recherche expérimentale

Dans le dépôt expérimental associé à ce travail, plusieurs branches de recherche ont été explorées :

centre carré
centre non nécessairement carré
centre et coins carrés
recherche relâchée à une seule progression de carrés
carrés semi-magiques avec centre zéro

Ces recherches n’ont pas produit de nouveau carré magique améliorant le carré de Bremner.

Elles permettent néanmoins de documenter des zones de recherche, de retrouver le carré connu, d’éliminer certaines familles jusqu’à des bornes explicites, et de préparer des visualisations pédagogiques pour Mystimath.

Pour aller plus loin

Cet article présente le problème général et le carré de Bremner.
Deux compléments permettent de prolonger cette introduction :

• Voir les cinq branches de recherche expérimentale
• Découvrir la variante semi-magique avec centre zéro

Les scripts expérimentaux, les logs et les résultats bornés sont regroupés dans le dépôt GitHub associé :

Consulter le dépôt GitHub magic-square-of-squares-3x3

Ce qu’il faut retenir

Le problème du carré magique 3×3 de carrés est un bon exemple de question mathématique facile à comprendre mais difficile à résoudre.

Le carré de Bremner montre qu’un carré magique avec 7 carrés parfaits est possible.

Mais le carré complet à 9 carrés parfaits distincts reste hors de portée.

Cette page servira de point de départ à une petite série d’articles consacrés aux recherches expérimentales autour de ce problème.