À la recherche d’un carré magique 3×3 de carrés : cinq branches expérimentales

Point de départ

Le problème du carré magique 3×3 de carrés parfaits est simple à formuler :

Peut-on remplir une grille magique 3×3 avec neuf carrés parfaits distincts ?

Aucun exemple complet n’est connu.

Le meilleur exemple utilisé comme repère dans cette recherche est le carré de Bremner, qui contient 7 carrés parfaits sur 9.

373² 139129

360721 360721

205² 42025

289² 83521

425² 180625

527² 277729

565² 319225

23² 529

222121 222121

Lignes : 541875 · 541875 · 541875

Colonnes : 541875 · 541875 · 541875

Diagonales : 541875 · 541875

• Ce carré magique contient 7 carrés parfaits distincts sur 9.
• Il ne constitue pas une solution complète au problème des 9 carrés.
• Les deux diagonales, les trois lignes et les trois colonnes ont la même somme magique.
• Les dilatations par facteur carré commun ne sont pas considérées comme de nouveaux exemples fondamentaux.

Ce carré est bien magique : les lignes, les colonnes et les diagonales ont toutes la même somme.

Mais deux cases ne sont pas des carrés parfaits. Le problème complet reste donc ouvert.

Pourquoi faire une recherche expérimentale ?

Une recherche expérimentale ne remplace pas une preuve.

Elle permet cependant de faire trois choses utiles :

1. tester des familles précises de candidats ;
2. retrouver des exemples connus, pour valider les scripts ;
3. documenter des résultats négatifs bornés.

Dans cette série d’expériences, l’objectif n’était pas de prétendre résoudre le problème, mais d’explorer plusieurs zones structurées.

Les scripts ont été organisés dans un dépôt expérimental séparé, afin de garder une trace reproductible des calculs.

Paramétrage général d’un carré magique 3×3

On note un carré magique 3×3 sous la forme :

a  b  c
d  e  f
h  i  j

Dans tout carré magique 3×3, le centre joue un rôle essentiel.

La somme magique vaut :

3e

et les cases opposées autour du centre vérifient :

a + j = 2e
b + i = 2e
c + h = 2e
d + f = 2e

Si l’on veut que beaucoup de cases soient des carrés parfaits, ces relations imposent naturellement des progressions arithmétiques de carrés.

C’est ce principe qui a guidé les premières branches de recherche.

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Branche A — centre carré et progressions de carrés

La première branche impose que le centre soit un carré parfait :

e = z²

On cherche ensuite des paires de carrés opposés autour du centre.

Autrement dit, on cherche des progressions de la forme :

x², z², y²

avec :

x² + y² = 2z²

Ces progressions peuvent être générées efficacement à partir de triplets pythagoriciens.

Résultats obtenus

Dans cette branche, une recherche primitive a été menée jusqu’à :

z ≤ 10 000 000

ce qui correspond à :

e = z² ≤ 10¹⁴

Résultats :

7/9 : le carré de Bremner est retrouvé
8/9 : aucun candidat trouvé
9/9 : aucun candidat trouvé dans cette borne

Le test à 8 carrés suffit aussi à exclure un carré à 9 carrés dans cette même famille et cette même borne.

Interprétation

Cette branche est importante parce qu’un véritable carré magique de 9 carrés aurait nécessairement un centre carré.

Mais le résultat reste expérimental et borné. Il ne constitue pas une preuve générale d’impossibilité.

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Branche B — centre non nécessairement carré

La deuxième branche vise un cas différent : un carré magique avec huit cases extérieures carrées, mais avec un centre qui n’est pas forcément carré.

Dans un tel carré, les cases opposées autour du centre doivent encore vérifier :

case opposée 1 + case opposée 2 = 2e

La recherche consiste donc à trouver des centres e qui sont milieux de plusieurs paires de carrés.

Résultats obtenus

La recherche a été poussée jusqu’à une racine extérieure maximale de :

20 000

Les statistiques principales sont :

99 990 000 paires de carrés générées
51 153 080 centres rencontrés
7 198 712 centres candidats
161 942 106 couples d’offsets testés

Résultat :

aucun candidat 8/9 trouvé

Interprétation

Cette branche explore une zone que la branche A ne couvrait pas entièrement pour le cas 8/9.

Mais elle devient rapidement coûteuse en mémoire, car le nombre de centres et d’offsets croît fortement.

Elle a donc été figée provisoirement à cette borne.

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Branche C — centre carré et quatre coins carrés

La troisième branche impose une forme plus restrictive.

On force les cases suivantes à être des carrés parfaits :

a, c, e, h, j

Autrement dit, le centre et les quatre coins sont carrés.

Les quatre autres cases sont ensuite calculées à partir des contraintes magiques.

Résultats obtenus

La recherche a été poussée jusqu’à :

E ≤ 60 000

Elle a produit :

91 967 paires de progressions de carrés
40 891 centres concernés
614 configurations valides

Mais toutes les configurations trouvées contiennent seulement :

6 carrés sur 9

Aucun candidat 7/9 ou 8/9 n’a été trouvé dans cette famille.

Interprétation

Cette branche ne retrouve pas le carré de Bremner, et c’est normal : dans l’orientation utilisée, Bremner n’a pas ses quatre coins carrés.

Elle reste utile pour documenter une famille naturelle, mais restrictive.

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Branche D — recherche relâchée à une seule progression

La quatrième branche relâche les contraintes.

On fixe seulement une progression de carrés autour du centre :

A², E², J²

Puis on balaie librement un paramètre q.

Cette approche est moins structurée que les branches précédentes, mais elle sert de bon contrôle expérimental.

Résultat obtenu

Avec :

limit = 10000
qmax = 300000

le script retrouve exactement :

1. le carré de Bremner ;
2. son multiple par 2².

Aucun candidat 8/9 n’a été trouvé dans ce test.

Pourquoi le multiple apparaît-il ?

Si l’on multiplie toutes les cases du carré de Bremner par un carré parfait commun, on obtient encore un carré magique avec 7 carrés.

Par exemple, avec le facteur 4 :

373² devient 746²
425² devient 850²
23² devient 46²

Ce n’est pas une nouvelle structure. C’est une dilatation.

C’est pourquoi les scripts utilisent, lorsque c’est pertinent, un filtre de primitivité.

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Branche E — semi-magique avec centre zéro

La dernière branche sort du problème classique.

On ne cherche plus un carré magique complet, mais un carré semi-magique : les lignes et les colonnes ont la même somme, mais les diagonales ne sont pas nécessairement contraintes.

Le centre est fixé à :

e = 0

Une forme naturelle est :

A²        H² + J²      C²
C² + J²   0            A² + H²
H²        A² + C²      J²

La somme commune des lignes et colonnes vaut :

S = A² + C² + H² + J²

Un exemple obtenu est :

15² 225

60² 3600

20² 400

52² 2704

0 0

39² 1521

36² 1296

25² 625

48² 2304

Lignes : 4225 · 4225 · 4225

Colonnes : 4225 · 4225 · 4225

Diagonales : 2529 · 1696

• Ce carré est semi-magique : les lignes et les colonnes ont la même somme.
• Les diagonales ne sont pas contraintes et ne valent pas la somme commune.
• Le centre est nul. Même si 0 peut être vu comme 0², seuls les 8 carrés positifs sont comptés ici.
• Cette structure ne résout pas le problème classique des carrés magiques 3×3 de carrés.

Cet exemple contient huit carrés positifs autour du centre zéro.

Mais il ne s’agit pas d’un carré magique complet, car les diagonales ne valent pas la somme commune.

Rôle de cette branche

Cette famille ne résout pas le problème des carrés magiques de carrés.

Elle sert plutôt de passerelle pédagogique :

carrés parfaits
relations pythagoriciennes
structures semi-magiques
problème complet des carrés magiques

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Résumé des résultats

Branche	Famille explorée	Meilleur résultat
A	centre carré, progressions de carrés	Bremner 7/9
B	centre non nécessairement carré, 8 cases extérieures carrées	aucun 8/9
C	centre carré et quatre coins carrés	6/9
D	recherche relâchée à une progression	Bremner 7/9 + multiple
E	semi-magique centre zéro	8 carrés positifs autour de 0

Aucune branche n’a produit de nouveau carré magique 3×3 améliorant le carré de Bremner.

Repères associés

Cette page synthétise les recherches expérimentales.
Elle complète deux articles liés :

• Lire l’introduction au problème du carré magique 3×3 de carrés
• Explorer la famille semi-magique avec centre zéro

Le code Python, les sorties de calcul et la documentation des branches sont disponibles dans le dépôt GitHub :

Voir les scripts et résultats expérimentaux sur GitHub

Les structures JSON utilisées pour l’affichage interactif ne sont pas publiées dans ce dépôt. Elles sont intégrées séparément dans la base du site Mystimath.

Ce que ces résultats ne disent pas

Ces calculs ne prouvent pas que le carré magique 3×3 de carrés n’existe pas.

Ils disent seulement :

aucun candidat n’a été trouvé
dans les familles explorées
et dans les bornes indiquées.

C’est une nuance essentielle.

La bonne formulation n’est pas :

il n’existe pas de solution

mais plutôt :

aucune solution n’a été trouvée dans ces zones de recherche

Pourquoi publier ces résultats ?

Les résultats négatifs ont aussi une valeur.

Ils permettent :

- de documenter des pistes explorées ;
- d’éviter de refaire les mêmes recherches sans le savoir ;
- de construire des visualisations pédagogiques ;
- de relier expérimentation informatique et théorie des nombres ;
- de préparer de futures stratégies plus fines.

Le carré magique 3×3 de carrés reste un problème fascinant précisément parce qu’il résiste à des approches très variées.

Même les impasses peuvent aider à mieux comprendre le paysage du problème.

Conclusion

Cette recherche expérimentale n’a pas découvert de nouveau record.

Elle a cependant permis de structurer cinq familles de recherche, de retrouver le carré de Bremner, d’écarter plusieurs zones bornées, et de construire une passerelle vers les carrés semi-magiques.

Un prochain article présentera plus en détail la famille semi-magique avec centre zéro, qui offre une porte d’entrée plus accessible vers ces structures.