Une variante plus accessible du problème
Dans les articles précédents, nous avons abordé le problème difficile du carré magique 3×3 composé uniquement de carrés parfaits.
Un carré magique complet impose huit contraintes de somme :
3 lignes
3 colonnes
2 diagonalesDans cet article, nous relâchons volontairement une partie de ces contraintes.
Nous ne demandons plus aux diagonales d’avoir la même somme. Nous demandons seulement que les lignes et les colonnes soient équilibrées.
On parle alors de carré semi-magique.
Magique ou semi-magique ?
Un carré magique 3×3 vérifie :
les 3 lignes ont la même somme
les 3 colonnes ont la même somme
les 2 diagonales ont la même sommeUn carré semi-magique vérifie seulement :
les 3 lignes ont la même somme
les 3 colonnes ont la même sommeLes diagonales peuvent être différentes.
Cette différence paraît petite, mais elle change beaucoup de choses. Elle rend certaines constructions beaucoup plus simples, tout en conservant une structure additive intéressante.
Le choix du centre zéro
Dans cette famille, on fixe le centre du carré à :
e = 0Le carré prend alors une forme particulière. On choisit quatre entiers positifs :
A, C, H, JOn place leurs carrés aux quatre coins :
A² C²
H² J²Puis on complète les quatre cases latérales avec des sommes de deux carrés.
La grille devient :
A² H² + J² C²
C² + J² 0 A² + H²
H² A² + C² J²Cette forme est automatiquement semi-magique.
Pourquoi les lignes et colonnes sont équilibrées
La somme commune vaut :
S = A² + C² + H² + J²Vérifions les lignes.
Première ligne :
A² + (H² + J²) + C² = A² + C² + H² + J²Deuxième ligne :
(C² + J²) + 0 + (A² + H²) = A² + C² + H² + J²Troisième ligne :
H² + (A² + C²) + J² = A² + C² + H² + J²Les trois lignes ont donc la même somme.
Les colonnes se vérifient de la même manière.
Première colonne :
A² + (C² + J²) + H² = A² + C² + H² + J²Deuxième colonne :
(H² + J²) + 0 + (A² + C²) = A² + C² + H² + J²Troisième colonne :
C² + (A² + H²) + J² = A² + C² + H² + J²Les lignes et colonnes sont donc automatiquement équilibrées.
Où interviennent les relations pythagoriciennes ?
Les quatre coins sont déjà des carrés parfaits :
A², C², H², J²Pour que les quatre cases latérales soient elles aussi des carrés parfaits, il faut que les quatre sommes suivantes soient carrées :
H² + J²
C² + J²
A² + H²
A² + C²Autrement dit, certaines paires de racines doivent former des triangles rectangles.
Par exemple, si :
A² + C² = K²alors la case correspondante devient un carré parfait.
La construction repose donc sur un petit réseau de relations pythagoriciennes.
Un exemple avec huit carrés positifs
Voici un exemple construit avec :
A = 15
C = 20
H = 36
J = 48Carré semi-magique
Carré semi-magique 3×3 avec centre zéro et 8 carrés positifs
Lignes : 4225 · 4225 · 4225
Colonnes : 4225 · 4225 · 4225
Diagonales : 2529 · 1696
- Ce carré est semi-magique : les lignes et les colonnes ont la même somme.
- Les diagonales ne sont pas contraintes et ne valent pas la somme commune.
- Le centre est nul. Même si 0 peut être vu comme 0², seuls les 8 carrés positifs sont comptés ici.
- Cette structure ne résout pas le problème classique des carrés magiques 3×3 de carrés.
En valeurs, la grille est :
225 | 3600 | 400
2704 | 0 | 1521
1296 | 625 | 2304Toutes les lignes et toutes les colonnes ont pour somme :
4225 = 65²Les huit cases positives sont des carrés parfaits :
15², 60², 20²
52², 39²
36², 25², 48²Le centre vaut zéro.
On pourrait dire que 0 = 0², mais dans cette série d’articles nous préférons compter uniquement les huit carrés positifs autour du centre. Cela évite de confondre cette construction semi-magique avec une solution au problème classique.
Vérification des lignes
Les lignes donnent :
225 + 3600 + 400 = 4225
2704 + 0 + 1521 = 4225
1296 + 625 + 2304 = 4225Les trois lignes sont bien équilibrées.
Vérification des colonnes
Les colonnes donnent :
225 + 2704 + 1296 = 4225
3600 + 0 + 625 = 4225
400 + 1521 + 2304 = 4225Les trois colonnes sont également équilibrées.
Et les diagonales ?
Les diagonales ne valent pas la somme commune.
La première diagonale vaut :
225 + 0 + 2304 = 2529La seconde diagonale vaut :
400 + 0 + 1296 = 1696Elles sont donc différentes de :
4225C’est précisément pour cela que cette grille est semi-magique, et non magique.
Pourquoi cette famille est intéressante
Cette construction ne résout pas le problème des carrés magiques de carrés.
Mais elle présente plusieurs intérêts.
Elle montre d’abord que des structures très riches apparaissent dès que l’on combine :
carrés parfaits
sommes de deux carrés
relations pythagoriciennes
contraintes semi-magiquesElle fournit aussi une passerelle pédagogique vers le problème plus difficile du carré magique complet.
On peut voir cette famille comme une zone intermédiaire :
carrés parfaits isolés
→ relations pythagoriciennes
→ carrés semi-magiques
→ carrés magiques de carrésUne forme constructive
La forme utilisée dans cet article est particulièrement pratique, car elle est entièrement constructive.
Dès que l’on trouve quatre racines A, C, H, J satisfaisant les bonnes relations pythagoriciennes, on obtient automatiquement un carré semi-magique.
Le script expérimental associé cherche donc des quadruplets pour lesquels les quatre cases latérales deviennent aussi des carrés parfaits.
Le principe est le suivant :
1. choisir des racines candidates ;
2. construire un graphe de relations pythagoriciennes ;
3. chercher quatre racines compatibles ;
4. construire la grille semi-magique ;
5. vérifier les sommes des lignes et colonnes.Différence avec le problème de Bremner
Le carré de Bremner est un véritable carré magique 3×3. Ses lignes, colonnes et diagonales ont toutes la même somme.
La grille avec centre zéro présentée ici n’a pas cette propriété.
Elle est donc beaucoup plus facile à construire.
Mais elle permet de mieux comprendre pourquoi le problème complet est difficile : dès que les diagonales sont réintroduites, les contraintes deviennent beaucoup plus rigides.
Articles liés et code expérimental
Cette construction semi-magique appartient à une exploration plus large autour des carrés de carrés.
Pour replacer cette famille dans son contexte :
- Comprendre le problème ouvert du carré magique 3×3 de carrés
- Voir le résumé des cinq branches expérimentales
Le script de recherche des carrés semi-magiques avec centre zéro fait partie du dépôt expérimental :
Accéder au dépôt GitHub magic-square-of-squares-3x3
Peut-on chercher mieux ?
Dans cette famille avec centre zéro, obtenir huit carrés positifs autour du centre est relativement accessible.
La question intéressante n’est donc pas seulement de trouver un exemple, mais de classer les familles possibles :
exemples primitifs
dilatations par facteur carré commun
sommes semi-magiques carrées ou non carrées
racines maximales faibles
relations pythagoriciennes minimalesOn peut aussi chercher des exemples avec des propriétés supplémentaires, par exemple :
somme commune elle-même carrée
racines toutes distinctes
absence de facteur carré commun
petites racines
formes non équivalentes par symétrieL’exemple affiché ici a une somme commune carrée :
4225 = 65²Ce qui le rend particulièrement lisible.
Ce que cette page ne prétend pas
Cette page ne présente pas une solution au problème classique des carrés magiques 3×3 de carrés.
Elle présente une famille semi-magique, donc une structure volontairement plus souple.
La distinction est importante :
semi-magique avec centre zéro
≠
carré magique complet de carrés parfaitsLe problème complet reste ouvert.
Conclusion
Les carrés semi-magiques avec centre zéro forment une famille simple, constructive et pédagogique.
Ils montrent comment des relations pythagoriciennes peuvent produire naturellement des grilles équilibrées en lignes et colonnes.
Ils ne remplacent pas le problème des carrés magiques de carrés, mais ils permettent de l’approcher par une voie plus accessible.
Après avoir exploré plusieurs branches négatives autour du problème de Bremner, cette famille offre un contraste utile : ici, la construction fonctionne, mais parce que les diagonales ont été volontairement relâchées.