Dans les articles sur les carrés magiques, on rencontre souvent l’expression carré magique normal. Elle peut sembler évidente, mais elle désigne en réalité une condition très précise.
Un carré magique normal n’est pas seulement une grille dont les lignes, colonnes et diagonales donnent une même somme. Il doit aussi utiliser une suite de nombres bien déterminée : les entiers de 1 à n².
Carré magique normal
Un carré magique normal d’ordre n est un carré qui utilise tous les nombres entiers de 1 à n², une seule fois chacun, et dont les lignes, colonnes et diagonales principales donnent la même constante magique.
Le rôle de l’ordre n
L’ordre d’un carré désigne sa taille.
Un carré d’ordre 3 possède :
3 lignes
3 colonnes
9 casesUn carré d’ordre 4 possède :
4 lignes
4 colonnes
16 casesUn carré d’ordre 5 possède :
5 lignes
5 colonnes
25 casesDans un carré magique normal, les nombres utilisés dépendent donc directement de cet ordre.
Les nombres attendus
Pour un carré normal d’ordre n, on utilise les nombres :
Nombres utilisés dans un carré normal
1, 2, 3, …, n²
Cela signifie par exemple :
ordre 3 → nombres de 1 à 9
ordre 4 → nombres de 1 à 16
ordre 5 → nombres de 1 à 25
ordre 6 → nombres de 1 à 36Aucune répétition
Dans un carré magique normal, chaque nombre doit apparaître une seule fois. Si un nombre est répété ou absent, le carré n’est plus normal.
Exemple 1 : Lo Shu
Le carré Lo Shu est un carré magique normal d’ordre 3.
Il utilise exactement les nombres de 1 à 9.
Sa constante magique est 15.
Vérification
Carré vérifiéLignes
- Ligne 1 : 15
- Ligne 2 : 15
- Ligne 3 : 15
Colonnes
- Colonne 1 : 15
- Colonne 2 : 15
- Colonne 3 : 15
Diagonales
- Diagonale 1 : 15
- Diagonale 2 : 15
On peut donc dire que Lo Shu est :
- un carré d’ordre 3 ;
- un carré magique ;
- un carré magique normal.Exemple 2 : le carré de Dürer
Le carré de Dürer est un carré magique normal d’ordre 4.
Il utilise les nombres de 1 à 16.
Sa constante magique est 34.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 34
- Ligne 2 : 34
- Ligne 3 : 34
- Ligne 4 : 34
Colonnes
- Colonne 1 : 34
- Colonne 2 : 34
- Colonne 3 : 34
- Colonne 4 : 34
Diagonales
- Diagonale 1 : 34
- Diagonale 2 : 34
Ce carré est donc normal parce que tous les entiers de 1 à 16 apparaissent exactement une fois.
Exemple 3 : un carré magique d’ordre 5
Voici un carré magique normal d’ordre 5 construit par méthode siamoise :
Il utilise les nombres de 1 à 25.
Sa constante magique est 65.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 65
- Ligne 2 : 65
- Ligne 3 : 65
- Ligne 4 : 65
- Ligne 5 : 65
Colonnes
- Colonne 1 : 65
- Colonne 2 : 65
- Colonne 3 : 65
- Colonne 4 : 65
- Colonne 5 : 65
Diagonales
- Diagonale 1 : 65
- Diagonale 2 : 65
Dans ce cas aussi, le mot “normal” signifie que la grille contient tous les entiers attendus, sans répétition et sans oubli.
La constante magique d’un carré normal
Pour un carré magique normal d’ordre n, la constante magique se calcule avec la formule :
Constante magique d’un carré normal
M = n(n² + 1) / 2
Cette formule dépend directement du fait que les nombres utilisés sont exactement ceux de 1 à n².
Pourquoi la formule dépend du caractère normal
La formule classique de la constante magique suppose que la somme totale des nombres utilisés est la somme des entiers de 1 à n². Si la grille utilise d’autres nombres, la constante peut être différente.
Carré magique normal et carré non normal
Un carré peut être magique sans être normal.
Par exemple, une grille peut avoir des lignes, colonnes et diagonales de même somme, mais utiliser d’autres nombres que 1 à n².
Dans ce cas, elle peut être un carré magique, mais pas un carré magique normal.
Carré magique non normal
Un carré magique non normal vérifie une constante magique, mais n’utilise pas nécessairement les nombres de 1 à n².
La distinction est importante, car deux grilles peuvent être magiques tout en ayant des statuts différents.
Carré normal et carré semi-magique
Il ne faut pas non plus confondre normal et magique complet.
Un carré peut utiliser les nombres de 1 à n², mais échouer sur les diagonales.
Voici un exemple de carré semi-magique d’ordre 3 :
Cette grille utilise les nombres de 1 à 9. Elle est donc normale du point de vue des nombres utilisés.
Mais elle n’est pas un carré magique complet, car ses diagonales ne donnent pas la constante 15.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 15
- Ligne 2 : 15
- Ligne 3 : 15
Colonnes
- Colonne 1 : 15
- Colonne 2 : 15
- Colonne 3 : 15
Diagonales
- Diagonale 1 : 12
- Diagonale 2 : 24
Normal ne veut pas dire automatiquement magique
Le mot normal concerne les nombres utilisés. Le mot magique concerne les sommes des lignes, colonnes et diagonales. Une grille peut donc être normale sans être magique complète.
Résumé des différences
Carré magique normal
- utilise les nombres de 1 à n²
- aucune répétition
- lignes correctes
- colonnes correctes
- diagonales correctes
Carré magique non normal
- utilise d’autres nombres
- lignes correctes
- colonnes correctes
- diagonales correctes
Carré semi-magique normal
- utilise les nombres de 1 à n²
- lignes correctes
- colonnes correctes
- diagonales pas forcément correctesCette distinction permet d’éviter beaucoup de confusions.
Pourquoi cette notion est utile dans Mystimath ?
Dans Mystimath, les fiches de structures doivent être précises. Une grille ne doit pas seulement être affichée. Elle doit aussi être décrite correctement.
Le mot “normal” permet de préciser la nature des nombres utilisés.
Le statut “magique”, “semi-magique”, “vérifié” ou “en cours de vérification” permet ensuite de préciser les propriétés réellement validées.
Pour aller plus loin
Quelques pages utiles :