La constante magique est l’une des notions centrales des carrés magiques. Elle correspond à la somme commune que l’on retrouve dans chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales.
Sans constante magique, il n’y a pas vraiment de carré magique. Une grille peut être régulière, symétrique ou intéressante visuellement, mais elle ne devient magique que si certaines sommes se répètent de manière précise.
Constante magique
La constante magique est la somme commune que doivent produire les lignes, les colonnes et les diagonales principales d’un carré magique.
Une somme commune
Dans un carré magique, toutes les lignes doivent produire la même somme.
Toutes les colonnes doivent aussi produire cette même somme.
Enfin, les deux diagonales principales doivent elles aussi donner cette valeur.
Cette valeur commune est appelée constante magique.
Une valeur de référence
La constante magique sert de référence. Elle permet de vérifier rapidement si une ligne, une colonne ou une diagonale respecte la propriété attendue.
La formule générale
Pour un carré magique normal d’ordre n, utilisant les nombres de 1 à n², la constante magique est donnée par la formule suivante :
Constante magique d’un carré normal
M = n(n² + 1) / 2
Dans cette formule :
- n désigne l’ordre du carré ;
- n² désigne le nombre total de cases ;
- les nombres utilisés vont de 1 à n² ;
- M désigne la constante magique.
Pourquoi cette formule fonctionne ?
Dans un carré magique normal d’ordre n, tous les nombres de 1 à n² sont utilisés une seule fois.
La somme totale des nombres de 1 à n² vaut :
Somme des nombres de 1 à n²
1 + 2 + … + n² = n²(n² + 1) / 2
Or le carré contient n lignes. Si chaque ligne possède la même somme M, alors la somme totale du carré vaut aussi :
Somme totale par lignes
n × M
On obtient donc :
Égalité des deux sommes
n × M = n²(n² + 1) / 2
En divisant par n :
Constante magique
M = n(n² + 1) / 2
Idée de la démonstration
La constante magique vient du fait que la somme totale du carré peut être calculée de deux façons : soit en additionnant tous les nombres utilisés, soit en additionnant les sommes identiques des n lignes.
Exemple 1 : le carré Lo Shu d’ordre 3
Pour un carré d’ordre 3, on utilise les nombres de 1 à 9.
La constante magique vaut :
Constante magique pour n = 3
M = 3(3² + 1) / 2 = 3(10) / 2 = 15
Le carré Lo Shu vérifie cette constante :
Vérification
Carré vérifiéLignes
- Ligne 1 : 15
- Ligne 2 : 15
- Ligne 3 : 15
Colonnes
- Colonne 1 : 15
- Colonne 2 : 15
- Colonne 3 : 15
Diagonales
- Diagonale 1 : 15
- Diagonale 2 : 15
Les lignes donnent bien :
2 + 7 + 6 = 15
9 + 5 + 1 = 15
4 + 3 + 8 = 15Exemple 2 : un carré magique d’ordre 4
Pour un carré d’ordre 4, on utilise les nombres de 1 à 16.
La constante magique vaut :
Constante magique pour n = 4
M = 4(4² + 1) / 2 = 4(17) / 2 = 34
Le carré de Dürer est un exemple célèbre de carré magique d’ordre 4 :
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 34
- Ligne 2 : 34
- Ligne 3 : 34
- Ligne 4 : 34
Colonnes
- Colonne 1 : 34
- Colonne 2 : 34
- Colonne 3 : 34
- Colonne 4 : 34
Diagonales
- Diagonale 1 : 34
- Diagonale 2 : 34
Dans ce cas, chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale principale doit donner 34.
Exemple 3 : un carré magique d’ordre 5
Pour un carré d’ordre 5, on utilise les nombres de 1 à 25.
La constante magique vaut :
Constante magique pour n = 5
M = 5(5² + 1) / 2 = 5(26) / 2 = 65
Un carré d’ordre 5 construit par méthode siamoise vérifie cette constante :
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 65
- Ligne 2 : 65
- Ligne 3 : 65
- Ligne 4 : 65
- Ligne 5 : 65
Colonnes
- Colonne 1 : 65
- Colonne 2 : 65
- Colonne 3 : 65
- Colonne 4 : 65
- Colonne 5 : 65
Diagonales
- Diagonale 1 : 65
- Diagonale 2 : 65
Tableau de quelques constantes
Ordre 3 → M = 15
Ordre 4 → M = 34
Ordre 5 → M = 65
Ordre 6 → M = 111
Ordre 7 → M = 175
Ordre 8 → M = 260
Ordre 9 → M = 369Ces valeurs ne sont pas choisies au hasard. Elles viennent directement de la formule générale.
Constante magique et vérification
La constante magique permet de vérifier une grille plus efficacement.
Au lieu de comparer toutes les sommes entre elles sans point de repère, on calcule d’abord la constante attendue. Ensuite, on vérifie chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale.
Si une somme est différente, la grille ne vérifie pas entièrement la propriété de carré magique.
Méthode pratique
Pour vérifier un carré magique normal, il faut d’abord calculer la constante magique attendue, puis comparer toutes les sommes importantes à cette valeur.
Et pour les carrés non normaux ?
La formule M = n(n² + 1) / 2 vaut pour les carrés magiques normaux, c’est-à-dire ceux qui utilisent les nombres de 1 à n².
Si une grille utilise d’autres nombres, la constante peut être différente. Dans ce cas, elle dépend de la somme totale des nombres utilisés.
La logique reste toutefois la même : si le carré est d’ordre n, et si la somme totale des nombres utilisés vaut S, alors la somme attendue par ligne est :
Constante dans le cas général
M = S / n
Cela signifie qu’un carré magique non normal peut exister, mais sa constante ne se calcule pas forcément avec la formule classique.
Pourquoi cette notion est importante ?
La constante magique est importante parce qu’elle transforme une grille en objet vérifiable.
Elle permet de passer de l’observation visuelle à la validation mathématique.
Elle sert aussi à comparer des structures de tailles différentes. Un carré d’ordre 3, un carré d’ordre 4 et un carré d’ordre 5 ne contiennent pas le même nombre de cases, mais chacun possède une constante qui résume une partie essentielle de sa structure.
Pour aller plus loin
Quelques pages utiles :