Vérifier un carré magique ne consiste pas seulement à regarder si une grille semble équilibrée. Une structure peut paraître régulière visuellement sans être réellement magique.
La vérification demande de contrôler plusieurs points : les nombres utilisés, la constante attendue, les lignes, les colonnes et les diagonales principales.
Vérifier un carré magique
Vérifier un carré magique signifie contrôler que toutes les lignes, toutes les colonnes et les deux diagonales principales donnent la même somme.
1. Vérifier les nombres utilisés
Dans un carré magique normal d’ordre n, les nombres utilisés sont généralement les entiers de 1 à n².
Pour un carré d’ordre 3, on attend donc les nombres de 1 à 9.
Pour un carré d’ordre 5, on attend les nombres de 1 à 25.
Carré normal
Un carré magique normal utilise tous les nombres entiers de 1 à n², une seule fois chacun.
Si un nombre est absent, répété ou remplacé par une autre valeur, la grille peut encore avoir certaines sommes intéressantes, mais elle n’est plus un carré magique normal.
2. Calculer la constante magique
Avant de vérifier les lignes et les colonnes, il faut connaître la constante attendue.
Pour un carré magique normal d’ordre n, la constante magique vaut :
Constante magique d’un carré normal
M = n(n² + 1) / 2
Pour un carré d’ordre 3 :
Constante magique pour n = 3
M = 3(3² + 1) / 2 = 3(10) / 2 = 15
Pour un carré d’ordre 5 :
Constante magique pour n = 5
M = 5(5² + 1) / 2 = 5(26) / 2 = 65
Cette constante devient la référence. Toutes les sommes importantes doivent être comparées à elle.
3. Exemple simple : le carré Lo Shu
Le carré Lo Shu est un carré magique d’ordre 3.
Sa constante magique est 15.
Vérification
Carré vérifiéLignes
- Ligne 1 : 15
- Ligne 2 : 15
- Ligne 3 : 15
Colonnes
- Colonne 1 : 15
- Colonne 2 : 15
- Colonne 3 : 15
Diagonales
- Diagonale 1 : 15
- Diagonale 2 : 15
4. Vérifier les lignes
La première étape visible consiste à additionner chaque ligne.
Pour le carré Lo Shu :
2 + 7 + 6 = 15
9 + 5 + 1 = 15
4 + 3 + 8 = 15Les trois lignes donnent la même somme. Elles respectent donc la constante magique.
5. Vérifier les colonnes
Il faut ensuite vérifier les colonnes.
2 + 9 + 4 = 15
7 + 5 + 3 = 15
6 + 1 + 8 = 15Là aussi, les trois colonnes donnent 15.
6. Vérifier les diagonales principales
Enfin, on vérifie les deux diagonales principales :
2 + 5 + 8 = 15
6 + 5 + 4 = 15Les deux diagonales donnent aussi 15.
Conclusion de la vérification
Comme les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales donnent toutes la constante 15, le carré Lo Shu vérifie bien la propriété de carré magique.
7. Inspection interactive des sommes
La visualisation suivante permet de cliquer sur une ligne, une colonne ou une diagonale. Les cellules concernées sont surlignées et la somme est comparée à la constante magique.
Vérification interactive
Inspection interactive du carré Lo Shu
Cliquez sur une ligne, une colonne ou une diagonale pour afficher la somme correspondante et vérifier si elle atteint la constante magique.
Lignes
Colonnes
Diagonales
8. Exemple plus grand : un carré magique d’ordre 5
La même méthode s’applique à des carrés plus grands.
Voici un carré magique normal d’ordre 5 construit par méthode siamoise :
Sa constante magique est 65.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 65
- Ligne 2 : 65
- Ligne 3 : 65
- Ligne 4 : 65
- Ligne 5 : 65
Colonnes
- Colonne 1 : 65
- Colonne 2 : 65
- Colonne 3 : 65
- Colonne 4 : 65
- Colonne 5 : 65
Diagonales
- Diagonale 1 : 65
- Diagonale 2 : 65
Pour les lignes :
17 + 24 + 1 + 8 + 15 = 65
23 + 5 + 7 + 14 + 16 = 65
4 + 6 + 13 + 20 + 22 = 65
10 + 12 + 19 + 21 + 3 = 65
11 + 18 + 25 + 2 + 9 = 65Pour les colonnes :
17 + 23 + 4 + 10 + 11 = 65
24 + 5 + 6 + 12 + 18 = 65
1 + 7 + 13 + 19 + 25 = 65
8 + 14 + 20 + 21 + 2 = 65
15 + 16 + 22 + 3 + 9 = 65Pour les diagonales :
17 + 5 + 13 + 21 + 9 = 65
15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 65Vérification interactive
Inspection interactive du carré d’ordre 5
Cliquez sur une ligne, une colonne ou une diagonale pour afficher la somme correspondante et vérifier si elle atteint la constante magique.
Lignes
Colonnes
Diagonales
9. Carré magique, semi-magique ou invalide ?
Toutes les grilles ne vérifient pas les mêmes propriétés.
Un carré peut avoir toutes ses lignes et colonnes correctes, mais pas ses diagonales. Dans ce cas, on parle souvent de carré semi-magique.
Un autre carré peut avoir quelques lignes correctes, mais pas toutes. Il ne suffit donc pas qu’une ou deux sommes soient bonnes pour valider toute la structure.
Carré semi-magique
Un carré semi-magique possède généralement des lignes et des colonnes de même somme, mais les diagonales principales ne vérifient pas nécessairement cette somme.
10. Pourquoi automatiser la vérification ?
À l’ordre 3, une vérification manuelle reste très simple. À l’ordre 5, elle demande déjà plus d’attention. À l’ordre 7, 9 ou davantage, la vérification manuelle devient plus longue et plus exposée aux erreurs.
C’est pour cette raison que Mystimath associe les fiches de structures à des composants de vérification. L’objectif est de rendre les propriétés visibles, mais aussi contrôlables.
Principe Mystimath
Une structure n’est pas seulement affichée. Elle doit pouvoir être décrite, attribuée et vérifiée.
Pour aller plus loin
Quelques pages utiles pour continuer :