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Carrés magiques

Comment construire un carré magique impair ?

Une méthode simple pour construire un carré magique d’ordre impair, illustrée avec un carré magique d’ordre 5.

Par Mystimath Publié le 01/06/2026 Mis à jour le 03/06/2026 Niveau : Intermédiaire
Visualisation de la méthode siamoise pour construire un carré magique d'ordre impair, avec un chemin diagonal de nombres.
Image d'en-tête pour l'article sur la construction des carrés magiques impairs. Une visualisation fascinante de la méthode siamoise : un chemin diagonal de nombres dorés est placé étape par étape dans une grille bleue profonde, avec la constante '65' brillant au-dessus. L'arrière-plan est un vide aux grilles géométriques complexes.

Un carré magique d’ordre impair est souvent une excellente porte d’entrée vers les méthodes de construction. Il n’est plus aussi minimal que le carré Lo Shu d’ordre 3, mais il reste assez lisible pour que les déplacements, les erreurs et les vérifications puissent être suivis visuellement.

La méthode dite siamoise, également connue sous le nom de méthode de De la Loubère, donne une règle simple pour remplir un carré de taille impaire avec les nombres de 1 à n². Elle fonctionne notamment pour les ordres 3, 5, 7, 9, etc.

Carré magique impair

Un carré magique impair est un carré magique dont l’ordre est un nombre impair : 3, 5, 7, 9, etc.
Un carré d’ordre 5 contient donc 25 cases et, dans le cas normal, les nombres de 1 à 25.

La constante magique d’un carré normal

Pour un carré magique normal d’ordre n, utilisant les nombres de 1 à n², la constante magique est donnée par :

Constante magique d’un carré normal

M = n(n² + 1) / 2

Dans le cas d’un carré d’ordre 5 :

Constante magique pour n = 5

M = 5(5² + 1) / 2 = 5(26) / 2 = 65

Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales doivent donc donner 65.

Principe de la méthode siamoise

La méthode repose sur une règle de déplacement très simple :

  1. placer le nombre 1 au milieu de la première ligne ;
  2. monter d’une ligne et aller d’une colonne vers la droite ;
  3. si le déplacement sort du carré, revenir de l’autre côté ;
  4. si la case visée est déjà occupée, descendre d’une case depuis la position précédente ;
  5. répéter jusqu’à placer tous les nombres.

Une règle simple, mais cyclique

La difficulté n’est pas dans le calcul, mais dans la logique de rebouclage. Quand on sort par le haut, on revient en bas. Quand on sort par la droite, on revient à gauche.

Construction dynamique

La visualisation suivante construit le carré d’ordre 5 étape par étape. Elle permet de suivre le déplacement haut-droite, les rebouclages et les descentes lorsqu’une case est déjà occupée.

Visualisation interactive

Construction dynamique par méthode siamoise

Les nombres sont placés un par un. Le déplacement normal se fait vers le haut et la droite. Si la case est déjà occupée, on descend depuis la position précédente.

Exemple : le carré magique d’ordre 5

La méthode donne par exemple le carré suivant :

Carré magique d’ordre 5 par méthode siamoise Ce carré magique d’ordre 5 possède une constante magique égale à 65.
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9

Ce carré contient les nombres de 1 à 25, sans répétition. Sa constante magique est 65.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 65
  • Ligne 2 : 65
  • Ligne 3 : 65
  • Ligne 4 : 65
  • Ligne 5 : 65

Colonnes

  • Colonne 1 : 65
  • Colonne 2 : 65
  • Colonne 3 : 65
  • Colonne 4 : 65
  • Colonne 5 : 65

Diagonales

  • Diagonale 1 : 65
  • Diagonale 2 : 65

Vérification des lignes

Les lignes donnent bien :

17 + 24 +  1 +  8 + 15 = 65
23 +  5 +  7 + 14 + 16 = 65
 4 +  6 + 13 + 20 + 22 = 65
10 + 12 + 19 + 21 +  3 = 65
11 + 18 + 25 +  2 +  9 = 65

Vérification des colonnes

Les colonnes donnent aussi :

17 + 23 +  4 + 10 + 11 = 65
24 +  5 +  6 + 12 + 18 = 65
 1 +  7 + 13 + 19 + 25 = 65
 8 + 14 + 20 + 21 +  2 = 65
15 + 16 + 22 +  3 +  9 = 65

Vérification des diagonales

Les deux diagonales principales sont également magiques :

17 + 5 + 13 + 21 + 9 = 65
15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 65

Pourquoi la vérification est importante

Une méthode de construction peut produire un carré qui semble régulier visuellement. Mais seule la vérification des lignes, colonnes et diagonales permet de confirmer que la structure est bien magique.

Pourquoi cet exemple est utile ?

Le carré d’ordre 5 est intéressant parce qu’il se situe entre deux niveaux.

Il reste assez petit pour être lu case par case, mais il est déjà suffisamment grand pour montrer que les carrés magiques ne sont pas seulement des curiosités de taille 3.

Il permet aussi d’introduire plusieurs notions importantes :

  • la constante magique ;
  • les carrés d’ordre impair ;
  • la construction algorithmique ;
  • la vérification automatique ;
  • la différence entre apparence visuelle et propriété mathématique.

Lien avec la base Mystimath

La fiche complète de cette structure est disponible ici :

Voir le carré magique d’ordre 5 par méthode siamoise

Elle permet d’observer la grille, ses propriétés, son attribution et ses vérifications dans la base des structures.

Le même principe peut être appliqué à un carré d’ordre 7. Dans ce cas, la grille contient les nombres de 1 à 49 et la constante magique vaut 175.

Voir l’exemple d’ordre 7 dans la base Mystimath

Exemple d’ordre 9

La même méthode peut aussi produire un carré magique d’ordre 9.
Dans ce cas, la grille contient les nombres de 1 à 81 et la constante magique vaut 369.

Carré magique d’ordre 9 par méthode siamoise Ce carré magique d’ordre 9 prolonge la méthode siamoise à une grille plus grande.
47
58
69
80
1
12
23
34
45
57
68
79
9
11
22
33
44
46
67
78
8
10
21
32
43
54
56
77
7
18
20
31
42
53
55
66
6
17
19
30
41
52
63
65
76
16
27
29
40
51
62
64
75
5
26
28
39
50
61
72
74
4
15
36
38
49
60
71
73
3
14
25
37
48
59
70
81
2
13
24
35

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 369
  • Ligne 2 : 369
  • Ligne 3 : 369
  • Ligne 4 : 369
  • Ligne 5 : 369
  • Ligne 6 : 369
  • Ligne 7 : 369
  • Ligne 8 : 369
  • Ligne 9 : 369

Colonnes

  • Colonne 1 : 369
  • Colonne 2 : 369
  • Colonne 3 : 369
  • Colonne 4 : 369
  • Colonne 5 : 369
  • Colonne 6 : 369
  • Colonne 7 : 369
  • Colonne 8 : 369
  • Colonne 9 : 369

Diagonales

  • Diagonale 1 : 369
  • Diagonale 2 : 369

Voir l’exemple d’ordre 9 dans la base Mystimath

Extension à l’ordre 11

La méthode siamoise peut également produire un carré magique d’ordre 11.

La grille contient alors les nombres de 1 à 121, et la constante magique vaut 671.

Carré magique d’ordre 11 par méthode siamoise Ce carré magique d’ordre 11 prolonge la méthode siamoise à une grille impaire plus grande.
68
81
94
107
120
1
14
27
40
53
66
80
93
106
119
11
13
26
39
52
65
67
92
105
118
10
12
25
38
51
64
77
79
104
117
9
22
24
37
50
63
76
78
91
116
8
21
23
36
49
62
75
88
90
103
7
20
33
35
48
61
74
87
89
102
115
19
32
34
47
60
73
86
99
101
114
6
31
44
46
59
72
85
98
100
113
5
18
43
45
58
71
84
97
110
112
4
17
30
55
57
70
83
96
109
111
3
16
29
42
56
69
82
95
108
121
2
15
28
41
54

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 671
  • Ligne 2 : 671
  • Ligne 3 : 671
  • Ligne 4 : 671
  • Ligne 5 : 671
  • Ligne 6 : 671
  • Ligne 7 : 671
  • Ligne 8 : 671
  • Ligne 9 : 671
  • Ligne 10 : 671
  • Ligne 11 : 671

Colonnes

  • Colonne 1 : 671
  • Colonne 2 : 671
  • Colonne 3 : 671
  • Colonne 4 : 671
  • Colonne 5 : 671
  • Colonne 6 : 671
  • Colonne 7 : 671
  • Colonne 8 : 671
  • Colonne 9 : 671
  • Colonne 10 : 671
  • Colonne 11 : 671

Diagonales

  • Diagonale 1 : 671
  • Diagonale 2 : 671

La grille devient plus dense, mais la logique reste la même : déplacement haut-droite, rebouclage et descente lorsqu’une case est déjà occupée.

Voir l’exemple d’ordre 11 dans la base Mystimath

Extension à l’ordre 13

La méthode siamoise peut encore être prolongée à l’ordre 13.

La grille contient alors les nombres de 1 à 169, et la constante magique vaut 1105.

Carré magique d’ordre 13 par méthode siamoise Ce carré magique d’ordre 13 prolonge la méthode siamoise à une grille impaire encore plus grande.
93
108
123
138
153
168
1
16
31
46
61
76
91
107
122
137
152
167
13
15
30
45
60
75
90
92
121
136
151
166
12
14
29
44
59
74
89
104
106
135
150
165
11
26
28
43
58
73
88
103
105
120
149
164
10
25
27
42
57
72
87
102
117
119
134
163
9
24
39
41
56
71
86
101
116
118
133
148
8
23
38
40
55
70
85
100
115
130
132
147
162
22
37
52
54
69
84
99
114
129
131
146
161
7
36
51
53
68
83
98
113
128
143
145
160
6
21
50
65
67
82
97
112
127
142
144
159
5
20
35
64
66
81
96
111
126
141
156
158
4
19
34
49
78
80
95
110
125
140
155
157
3
18
33
48
63
79
94
109
124
139
154
169
2
17
32
47
62
77

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 1105
  • Ligne 2 : 1105
  • Ligne 3 : 1105
  • Ligne 4 : 1105
  • Ligne 5 : 1105
  • Ligne 6 : 1105
  • Ligne 7 : 1105
  • Ligne 8 : 1105
  • Ligne 9 : 1105
  • Ligne 10 : 1105
  • Ligne 11 : 1105
  • Ligne 12 : 1105
  • Ligne 13 : 1105

Colonnes

  • Colonne 1 : 1105
  • Colonne 2 : 1105
  • Colonne 3 : 1105
  • Colonne 4 : 1105
  • Colonne 5 : 1105
  • Colonne 6 : 1105
  • Colonne 7 : 1105
  • Colonne 8 : 1105
  • Colonne 9 : 1105
  • Colonne 10 : 1105
  • Colonne 11 : 1105
  • Colonne 12 : 1105
  • Colonne 13 : 1105

Diagonales

  • Diagonale 1 : 1105
  • Diagonale 2 : 1105

À partir de cet ordre, la visualisation devient presque plus importante que la lecture directe de la grille. La méthode reste simple, mais le carré devient dense.

Voir l’exemple d’ordre 13 dans la base Mystimath

Extension à l’ordre 15

La méthode siamoise peut encore être prolongée à l’ordre 15.

La grille contient alors les nombres de 1 à 225, et la constante magique vaut 1695.

Carré magique d’ordre 15 par méthode siamoise Ce carré magique d’ordre 15 prolonge la méthode siamoise à une grille impaire très dense.
122
139
156
173
190
207
224
1
18
35
52
69
86
103
120
138
155
172
189
206
223
15
17
34
51
68
85
102
119
121
154
171
188
205
222
14
16
33
50
67
84
101
118
135
137
170
187
204
221
13
30
32
49
66
83
100
117
134
136
153
186
203
220
12
29
31
48
65
82
99
116
133
150
152
169
202
219
11
28
45
47
64
81
98
115
132
149
151
168
185
218
10
27
44
46
63
80
97
114
131
148
165
167
184
201
9
26
43
60
62
79
96
113
130
147
164
166
183
200
217
25
42
59
61
78
95
112
129
146
163
180
182
199
216
8
41
58
75
77
94
111
128
145
162
179
181
198
215
7
24
57
74
76
93
110
127
144
161
178
195
197
214
6
23
40
73
90
92
109
126
143
160
177
194
196
213
5
22
39
56
89
91
108
125
142
159
176
193
210
212
4
21
38
55
72
105
107
124
141
158
175
192
209
211
3
20
37
54
71
88
106
123
140
157
174
191
208
225
2
19
36
53
70
87
104

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 1695
  • Ligne 2 : 1695
  • Ligne 3 : 1695
  • Ligne 4 : 1695
  • Ligne 5 : 1695
  • Ligne 6 : 1695
  • Ligne 7 : 1695
  • Ligne 8 : 1695
  • Ligne 9 : 1695
  • Ligne 10 : 1695
  • Ligne 11 : 1695
  • Ligne 12 : 1695
  • Ligne 13 : 1695
  • Ligne 14 : 1695
  • Ligne 15 : 1695

Colonnes

  • Colonne 1 : 1695
  • Colonne 2 : 1695
  • Colonne 3 : 1695
  • Colonne 4 : 1695
  • Colonne 5 : 1695
  • Colonne 6 : 1695
  • Colonne 7 : 1695
  • Colonne 8 : 1695
  • Colonne 9 : 1695
  • Colonne 10 : 1695
  • Colonne 11 : 1695
  • Colonne 12 : 1695
  • Colonne 13 : 1695
  • Colonne 14 : 1695
  • Colonne 15 : 1695

Diagonales

  • Diagonale 1 : 1695
  • Diagonale 2 : 1695

À cet ordre, l’intérêt principal n’est plus seulement de lire la grille case par case. Il devient surtout utile d’observer la régularité de la méthode et de vérifier automatiquement les lignes, colonnes et diagonales.

Voir l’exemple d’ordre 15 dans la base Mystimath

Extension à l’ordre 17

La méthode siamoise peut encore être prolongée à l’ordre 17.

La grille contient alors les nombres de 1 à 289, et la constante magique vaut 2465.

Carré magique d’ordre 17 par méthode siamoise Ce carré magique d’ordre 17 prolonge la méthode siamoise à une grille impaire très dense.
155
174
193
212
231
250
269
288
1
20
39
58
77
96
115
134
153
173
192
211
230
249
268
287
17
19
38
57
76
95
114
133
152
154
191
210
229
248
267
286
16
18
37
56
75
94
113
132
151
170
172
209
228
247
266
285
15
34
36
55
74
93
112
131
150
169
171
190
227
246
265
284
14
33
35
54
73
92
111
130
149
168
187
189
208
245
264
283
13
32
51
53
72
91
110
129
148
167
186
188
207
226
263
282
12
31
50
52
71
90
109
128
147
166
185
204
206
225
244
281
11
30
49
68
70
89
108
127
146
165
184
203
205
224
243
262
10
29
48
67
69
88
107
126
145
164
183
202
221
223
242
261
280
28
47
66
85
87
106
125
144
163
182
201
220
222
241
260
279
9
46
65
84
86
105
124
143
162
181
200
219
238
240
259
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Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 2465
  • Ligne 2 : 2465
  • Ligne 3 : 2465
  • Ligne 4 : 2465
  • Ligne 5 : 2465
  • Ligne 6 : 2465
  • Ligne 7 : 2465
  • Ligne 8 : 2465
  • Ligne 9 : 2465
  • Ligne 10 : 2465
  • Ligne 11 : 2465
  • Ligne 12 : 2465
  • Ligne 13 : 2465
  • Ligne 14 : 2465
  • Ligne 15 : 2465
  • Ligne 16 : 2465
  • Ligne 17 : 2465

Colonnes

  • Colonne 1 : 2465
  • Colonne 2 : 2465
  • Colonne 3 : 2465
  • Colonne 4 : 2465
  • Colonne 5 : 2465
  • Colonne 6 : 2465
  • Colonne 7 : 2465
  • Colonne 8 : 2465
  • Colonne 9 : 2465
  • Colonne 10 : 2465
  • Colonne 11 : 2465
  • Colonne 12 : 2465
  • Colonne 13 : 2465
  • Colonne 14 : 2465
  • Colonne 15 : 2465
  • Colonne 16 : 2465
  • Colonne 17 : 2465

Diagonales

  • Diagonale 1 : 2465
  • Diagonale 2 : 2465

À cet ordre, la grille devient difficile à parcourir manuellement. La section d’interaction permet alors de sélectionner une ligne ou une colonne et de voir directement la somme correspondante.

Voir l’exemple d’ordre 17 dans la base Mystimath

Extension à l’ordre 19

La méthode siamoise peut encore être prolongée à l’ordre 19.

La grille contient alors les nombres de 1 à 361, et la constante magique vaut 3439.

Carré magique d’ordre 19 par méthode siamoise Ce carré magique d’ordre 19 prolonge la méthode siamoise à une grille impaire très dense.
192
213
234
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86
107
128
149
170

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 3439
  • Ligne 2 : 3439
  • Ligne 3 : 3439
  • Ligne 4 : 3439
  • Ligne 5 : 3439
  • Ligne 6 : 3439
  • Ligne 7 : 3439
  • Ligne 8 : 3439
  • Ligne 9 : 3439
  • Ligne 10 : 3439
  • Ligne 11 : 3439
  • Ligne 12 : 3439
  • Ligne 13 : 3439
  • Ligne 14 : 3439
  • Ligne 15 : 3439
  • Ligne 16 : 3439
  • Ligne 17 : 3439
  • Ligne 18 : 3439
  • Ligne 19 : 3439

Colonnes

  • Colonne 1 : 3439
  • Colonne 2 : 3439
  • Colonne 3 : 3439
  • Colonne 4 : 3439
  • Colonne 5 : 3439
  • Colonne 6 : 3439
  • Colonne 7 : 3439
  • Colonne 8 : 3439
  • Colonne 9 : 3439
  • Colonne 10 : 3439
  • Colonne 11 : 3439
  • Colonne 12 : 3439
  • Colonne 13 : 3439
  • Colonne 14 : 3439
  • Colonne 15 : 3439
  • Colonne 16 : 3439
  • Colonne 17 : 3439
  • Colonne 18 : 3439
  • Colonne 19 : 3439

Diagonales

  • Diagonale 1 : 3439
  • Diagonale 2 : 3439

À cet ordre, la visualisation directe devient très compacte. Les outils d’interaction et de vérification sont donc essentiels pour conserver une lecture pédagogique.

Voir l’exemple d’ordre 19 dans la base Mystimath

Extensions vers les grands ordres

Les ordres supérieurs prolongent les mêmes familles :

Pour aller plus loin

La méthode siamoise fonctionne pour tous les ordres impairs. Pour un carré d’ordre 7, il faudrait placer les nombres de 1 à 49. Pour un carré d’ordre 9, les nombres de 1 à 81.

Mais plus l’ordre augmente, plus la visualisation devient utile. C’est précisément l’un des objectifs de Mystimath : rendre visibles des structures numériques qui deviennent difficiles à lire directement.