Après les carrés magiques d’ordre impair, il est naturel de rencontrer une autre famille importante : les carrés d’ordre pair. Parmi eux, les plus simples à introduire sont les carrés doublement pairs, c’est-à-dire les carrés dont l’ordre est divisible par 4.
L’ordre 4 est le premier exemple de cette famille. Il permet d’expliquer une méthode de construction différente de la méthode siamoise.
Ordre doublement pair
Un ordre est dit doublement pair lorsqu’il est divisible par 4.
Les ordres 4, 8, 12, 16, etc., appartiennent à cette famille.
Pourquoi l’ordre 4 est un cas particulier
Un carré d’ordre 4 possède 16 cases. Dans un carré magique normal, on utilise donc les nombres de 1 à 16.
Sa constante magique vaut :
Constante magique pour n = 4
M = 4(4² + 1) / 2 = 4(17) / 2 = 34
Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales doivent donc donner 34.
Pourquoi la méthode siamoise ne convient pas ici
La méthode siamoise fonctionne pour les carrés d’ordre impair. Elle repose sur des déplacements haut-droite avec rebouclage.
Mais pour un carré d’ordre 4, cette logique ne permet pas directement de produire un carré magique normal. Il faut donc employer une autre méthode.
Changement de logique
Les carrés d’ordre impair et les carrés d’ordre doublement pair ne se construisent pas avec la même mécanique. L’ordre 4 demande une logique de repérage et de complément.
Principe général d’une méthode doublement paire
Une méthode classique consiste à :
- remplir d’abord la grille avec les nombres de 1 à 16 dans l’ordre ;
- repérer certaines cases particulières ;
- remplacer dans ces cases certaines valeurs par leurs complémentaires par rapport à 17.
Le complément d’un nombre k est ici :
Complément dans un carré d’ordre 4
17 - k
Autrement dit :
1 ↔ 16
2 ↔ 15
3 ↔ 14
4 ↔ 13
5 ↔ 12
6 ↔ 11
7 ↔ 10
8 ↔ 9Construction dynamique
La visualisation suivante montre les trois temps de la méthode : remplissage initial, repérage du motif en X, puis transformation par complément à 17.
Construction interactive
Construire un carré magique d’ordre 4 doublement pair
On remplit d’abord la grille avec les nombres de 1 à 16, puis on repère les cases du motif en X. Les valeurs de ces cases sont remplacées par leur complément à 17.
Carré obtenu
On obtient alors le carré suivant :
Sa constante magique vaut 34.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 34
- Ligne 2 : 34
- Ligne 3 : 34
- Ligne 4 : 34
Colonnes
- Colonne 1 : 34
- Colonne 2 : 34
- Colonne 3 : 34
- Colonne 4 : 34
Diagonales
- Diagonale 1 : 34
- Diagonale 2 : 34
Vérification des lignes
16 + 2 + 3 + 13 = 34
5 + 11 + 10 + 8 = 34
9 + 7 + 6 + 12 = 34
4 + 14 + 15 + 1 = 34Vérification des colonnes
16 + 5 + 9 + 4 = 34
2 + 11 + 7 + 14 = 34
3 + 10 + 6 + 15 = 34
13 + 8 + 12 + 1 = 34Vérification des diagonales
16 + 11 + 6 + 1 = 34
13 + 10 + 7 + 4 = 34Conclusion
Le carré obtenu vérifie bien les lignes, les colonnes et les diagonales principales. Il s’agit donc d’un carré magique normal d’ordre 4.
Lien avec le carré de Dürer
Le carré de Dürer est lui aussi un carré magique d’ordre 4. Il appartient donc à la famille des ordres doublement pairs.
Mais le carré de Dürer joue surtout un rôle historique et culturel. Le carré présenté ici est plutôt un exemple méthodique, utile pour comprendre la construction des ordres doublement pairs.
Pourquoi cet exemple est utile dans Mystimath
Cette structure est importante parce qu’elle ouvre le chapitre des carrés d’ordre pair.
Elle montre que :
- la méthode siamoise ne suffit pas pour tous les ordres ;
- l’ordre 4 possède une logique de construction différente ;
- le vocabulaire “impair / pair / doublement pair” n’est pas décoratif ;
- les méthodes de construction dépendent réellement de la taille du carré.
Pour aller plus loin
Quelques pages utiles :