Les carrés magiques ne se construisent pas tous de la même manière. Une grande partie de la difficulté vient de l’ordre du carré, c’est-à-dire du nombre de lignes et de colonnes.
Les carrés d’ordre impair peuvent être abordés avec la méthode siamoise. Les carrés d’ordre pair, eux, demandent une autre logique. Parmi eux, les plus accessibles sont les carrés doublement pairs.
Un carré magique est dit d’ordre doublement pair lorsque son ordre est divisible par 4.
Carré magique doublement pair
Un carré magique doublement pair est un carré magique dont l’ordre est divisible par 4.
Les ordres 4, 8, 12, 16, etc., appartiennent à cette famille.
Pourquoi dit-on “doublement pair” ?
Un nombre pair est divisible par 2.
Un nombre doublement pair est divisible par 4.
Ainsi :
4 = 4 × 1
8 = 4 × 2
12 = 4 × 3
16 = 4 × 4Ces ordres forment une famille particulière dans la construction des carrés magiques normaux.
Attention à la distinction
Tous les ordres pairs ne sont pas doublement pairs.
L’ordre 6 est pair, mais il n’est pas divisible par 4. Il appartient donc à la famille des ordres simplement pairs.
Rappel : la constante magique
Pour un carré magique normal d’ordre n, contenant les nombres de 1 à n², la constante magique est donnée par :
Constante magique d’un carré normal
M = n(n² + 1) / 2
Pour l’ordre 4 :
Constante magique pour n = 4
M = 4(4² + 1) / 2 = 34
Pour l’ordre 8 :
Constante magique pour n = 8
M = 8(8² + 1) / 2 = 260
La méthode doit donc produire une grille où chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donnent cette même somme.
La logique de la méthode doublement paire
La méthode doublement paire repose sur une idée simple : commencer par remplir la grille dans l’ordre, puis remplacer certaines cases par leur complément.
Pour un carré d’ordre n, les nombres utilisés vont de 1 à n². Le complément d’un nombre k est donc :
Complément général
n² + 1 − k
Pour l’ordre 4, le complément se fait par rapport à 17 :
1 ↔ 16
2 ↔ 15
3 ↔ 14
4 ↔ 13
...Pour l’ordre 8, le complément se fait par rapport à 65 :
1 ↔ 64
2 ↔ 63
3 ↔ 62
4 ↔ 61
...Le cœur de la méthode consiste donc à choisir correctement les cases qui doivent être remplacées.
Exemple visuel avec l’ordre 4
L’ordre 4 est le premier exemple de carré doublement pair. La visualisation suivante montre les trois étapes principales :
1. remplir la grille de 1 à 16 ;
2. repérer le motif des cases à transformer ;
3. remplacer les valeurs marquées par leur complément à 17.Construction interactive
Construire un carré magique d’ordre 4 doublement pair
On remplit d’abord la grille avec les nombres de 1 à 16, puis on repère les cases du motif en X. Les valeurs de ces cases sont remplacées par leur complément à 17.
On obtient le carré suivant :
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 34
- Ligne 2 : 34
- Ligne 3 : 34
- Ligne 4 : 34
Colonnes
- Colonne 1 : 34
- Colonne 2 : 34
- Colonne 3 : 34
- Colonne 4 : 34
Diagonales
- Diagonale 1 : 34
- Diagonale 2 : 34
Le lien avec le carré de Dürer
Le carré de Dürer est lui aussi un carré magique d’ordre 4.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 34
- Ligne 2 : 34
- Ligne 3 : 34
- Ligne 4 : 34
Colonnes
- Colonne 1 : 34
- Colonne 2 : 34
- Colonne 3 : 34
- Colonne 4 : 34
Diagonales
- Diagonale 1 : 34
- Diagonale 2 : 34
Mais son intérêt est surtout historique et symbolique. Il ne sert pas uniquement à illustrer une méthode de construction. Il montre aussi comment un carré magique peut circuler dans l’art, la culture et l’histoire des mathématiques.
Le carré construit par méthode doublement paire joue un autre rôle : il sert de modèle pédagogique pour comprendre une famille entière de carrés.
Passage à l’ordre 8
L’ordre 8 permet de voir que la méthode doublement paire ne se limite pas au cas 4×4.
Un carré d’ordre 8 contient les nombres de 1 à 64. Sa constante magique vaut 260.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 260
- Ligne 2 : 260
- Ligne 3 : 260
- Ligne 4 : 260
- Ligne 5 : 260
- Ligne 6 : 260
- Ligne 7 : 260
- Ligne 8 : 260
Colonnes
- Colonne 1 : 260
- Colonne 2 : 260
- Colonne 3 : 260
- Colonne 4 : 260
- Colonne 5 : 260
- Colonne 6 : 260
- Colonne 7 : 260
- Colonne 8 : 260
Diagonales
- Diagonale 1 : 260
- Diagonale 2 : 260
La grille est plus grande, mais la logique reste comparable : certaines cases conservent leur valeur initiale, tandis que d’autres sont remplacées par leur complément.
Vérification de quelques lignes
Dans le carré d’ordre 8, les lignes donnent bien 260.
64 + 2 + 3 + 61 + 60 + 6 + 7 + 57 = 260
9 + 55 + 54 + 12 + 13 + 51 + 50 + 16 = 260
17 + 47 + 46 + 20 + 21 + 43 + 42 + 24 = 260
40 + 26 + 27 + 37 + 36 + 30 + 31 + 33 = 260Les autres lignes donnent également 260. Les colonnes et les deux diagonales principales respectent aussi la même constante.
Pourquoi l’ordre 8 est utile
L’ordre 8 montre que la méthode doublement paire n’est pas une astuce limitée au carré 4×4. Elle appartient à une famille générale de constructions possibles pour les ordres divisibles par 4.
Extension à l’ordre 12
L’ordre 12 montre encore mieux que la méthode doublement paire appartient à une famille générale.
Un carré d’ordre 12 contient les nombres de 1 à 144. Sa constante magique vaut 870.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 870
- Ligne 2 : 870
- Ligne 3 : 870
- Ligne 4 : 870
- Ligne 5 : 870
- Ligne 6 : 870
- Ligne 7 : 870
- Ligne 8 : 870
- Ligne 9 : 870
- Ligne 10 : 870
- Ligne 11 : 870
- Ligne 12 : 870
Colonnes
- Colonne 1 : 870
- Colonne 2 : 870
- Colonne 3 : 870
- Colonne 4 : 870
- Colonne 5 : 870
- Colonne 6 : 870
- Colonne 7 : 870
- Colonne 8 : 870
- Colonne 9 : 870
- Colonne 10 : 870
- Colonne 11 : 870
- Colonne 12 : 870
Diagonales
- Diagonale 1 : 870
- Diagonale 2 : 870
La grille devient moins confortable à lire directement, mais elle garde la même logique : certaines cases conservent leur valeur initiale, tandis que d’autres sont remplacées par leur complément.
Voir la fiche du carré d’ordre 12 doublement pair
Extension à l’ordre 16
L’ordre 16 prolonge la famille des carrés doublement pairs.
Il est divisible par 4 :
16 = 4 × 4Un carré magique normal d’ordre 16 contient les nombres de 1 à 256. Sa constante magique vaut 2056.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 2056
- Ligne 2 : 2056
- Ligne 3 : 2056
- Ligne 4 : 2056
- Ligne 5 : 2056
- Ligne 6 : 2056
- Ligne 7 : 2056
- Ligne 8 : 2056
- Ligne 9 : 2056
- Ligne 10 : 2056
- Ligne 11 : 2056
- Ligne 12 : 2056
- Ligne 13 : 2056
- Ligne 14 : 2056
- Ligne 15 : 2056
- Ligne 16 : 2056
Colonnes
- Colonne 1 : 2056
- Colonne 2 : 2056
- Colonne 3 : 2056
- Colonne 4 : 2056
- Colonne 5 : 2056
- Colonne 6 : 2056
- Colonne 7 : 2056
- Colonne 8 : 2056
- Colonne 9 : 2056
- Colonne 10 : 2056
- Colonne 11 : 2056
- Colonne 12 : 2056
- Colonne 13 : 2056
- Colonne 14 : 2056
- Colonne 15 : 2056
- Colonne 16 : 2056
Diagonales
- Diagonale 1 : 2056
- Diagonale 2 : 2056
À partir de cet ordre, la lecture directe devient moins importante que la logique de construction et la vérification automatique. La page de progression par ordre permet de replacer cette structure dans la série : ordre 4, ordre 8, ordre 12, ordre 16.
Voir la fiche du carré d’ordre 16 doublement pair
Extensions vers les grands ordres
Les ordres supérieurs prolongent les mêmes familles :
Différence avec les carrés d’ordre impair
Les carrés d’ordre impair, comme les ordres 3, 5 ou 7, peuvent être construits par la méthode siamoise.
Cette méthode consiste à se déplacer vers le haut et la droite, avec rebouclage, puis à descendre lorsqu’une case est déjà occupée.
Les carrés doublement pairs ne suivent pas cette mécanique. Leur construction repose plutôt sur :
- un remplissage initial ordonné ;
- un motif de cases ;
- une transformation par complément.C’est une différence fondamentale.
Différence avec les carrés simplement pairs
Les carrés simplement pairs sont les carrés dont l’ordre est divisible par 2, mais pas par 4.
Exemples :
6, 10, 14, 18...Ils sont souvent plus délicats à construire. Leur méthode demande généralement des découpages en blocs, des échanges de colonnes ou des ajustements plus fins.
Trois familles à ne pas confondre
Ordres impairs : 3, 5, 7, 9…
Ordres doublement pairs : 4, 8, 12, 16…
Ordres simplement pairs : 6, 10, 14, 18…
Pourquoi cette famille est importante ?
Les carrés doublement pairs sont importants parce qu’ils forment une transition naturelle.
Ils sont plus complexes que les carrés d’ordre impair, mais restent relativement accessibles. Ils permettent de comprendre que les carrés magiques ne dépendent pas d’une seule méthode universelle.
Ils introduisent aussi une idée très importante : la construction peut venir d’une transformation contrôlée d’une grille simple.
On ne cherche pas à placer chaque nombre un par un comme dans la méthode siamoise. On part d’une grille ordonnée, puis on modifie certaines positions selon une règle.
Dans Mystimath
Dans Mystimath, les carrés doublement pairs sont documentés à travers plusieurs entrées :
- un carré d’ordre 4 construit par méthode doublement paire ;
- le carré de Dürer, exemple historique d’ordre 4 ;
- un carré d’ordre 8 construit par généralisation de la méthode doublement paire.
- un carré d’ordre 12 qui montre l’extension de la méthode à une grille plus grande.
- un carré d’ordre 16 qui prolonge encore la méthode doublement paire à une grille très dense.
Ces exemples permettent de distinguer deux usages :
ordre 4 pédagogique → comprendre la méthode
Dürer → comprendre l’importance historique
ordre 8 → comprendre la généralisation
ordre 12 → extension à un egrille plus grande
ordre 16 → encore plus grandPour aller plus loin
Pages utiles :
- Comment construire un carré magique d’ordre 4 par méthode doublement paire ?
- Carrés magiques d’ordre impair et d’ordre pair : quelle différence ?
- Le carré magique de Dürer : pourquoi est-il célèbre ?
- Voir la fiche du carré d’ordre 4 doublement pair
- Voir la fiche du carré d’ordre 8 doublement pair
- Voir la fiche du carré d’ordre 12 doublement pair
- Voir la fiche du carré d’ordre 16 doublement pair
- Voir la méthode doublement paire dans la base
- Voir les visualisations Mystimath