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Carrés magiques

Les carrés magiques doublement pairs : définition, méthode et exemples

Comprendre les carrés magiques doublement pairs, leur différence avec les carrés d’ordre impair et simplement pair, et leur méthode de construction par complément.

Par Mystimath Publié le 02/06/2026 Mis à jour le 02/06/2026 Niveau : Intermédiaire

Les carrés magiques ne se construisent pas tous de la même manière. Une grande partie de la difficulté vient de l’ordre du carré, c’est-à-dire du nombre de lignes et de colonnes.

Les carrés d’ordre impair peuvent être abordés avec la méthode siamoise. Les carrés d’ordre pair, eux, demandent une autre logique. Parmi eux, les plus accessibles sont les carrés doublement pairs.

Un carré magique est dit d’ordre doublement pair lorsque son ordre est divisible par 4.

Carré magique doublement pair

Un carré magique doublement pair est un carré magique dont l’ordre est divisible par 4.
Les ordres 4, 8, 12, 16, etc., appartiennent à cette famille.

Pourquoi dit-on “doublement pair” ?

Un nombre pair est divisible par 2.
Un nombre doublement pair est divisible par 4.

Ainsi :

4  = 4 × 1
8  = 4 × 2
12 = 4 × 3
16 = 4 × 4

Ces ordres forment une famille particulière dans la construction des carrés magiques normaux.

Attention à la distinction

Tous les ordres pairs ne sont pas doublement pairs.
L’ordre 6 est pair, mais il n’est pas divisible par 4. Il appartient donc à la famille des ordres simplement pairs.

Rappel : la constante magique

Pour un carré magique normal d’ordre n, contenant les nombres de 1 à n², la constante magique est donnée par :

Constante magique d’un carré normal

M = n(n² + 1) / 2

Pour l’ordre 4 :

Constante magique pour n = 4

M = 4(4² + 1) / 2 = 34

Pour l’ordre 8 :

Constante magique pour n = 8

M = 8(8² + 1) / 2 = 260

La méthode doit donc produire une grille où chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales donnent cette même somme.

La logique de la méthode doublement paire

La méthode doublement paire repose sur une idée simple : commencer par remplir la grille dans l’ordre, puis remplacer certaines cases par leur complément.

Pour un carré d’ordre n, les nombres utilisés vont de 1 à n². Le complément d’un nombre k est donc :

Complément général

n² + 1 − k

Pour l’ordre 4, le complément se fait par rapport à 17 :

1 ↔ 16
2 ↔ 15
3 ↔ 14
4 ↔ 13
...

Pour l’ordre 8, le complément se fait par rapport à 65 :

1 ↔ 64
2 ↔ 63
3 ↔ 62
4 ↔ 61
...

Le cœur de la méthode consiste donc à choisir correctement les cases qui doivent être remplacées.

Exemple visuel avec l’ordre 4

L’ordre 4 est le premier exemple de carré doublement pair. La visualisation suivante montre les trois étapes principales :

1. remplir la grille de 1 à 16 ;
2. repérer le motif des cases à transformer ;
3. remplacer les valeurs marquées par leur complément à 17.

Construction interactive

Construire un carré magique d’ordre 4 doublement pair

On remplit d’abord la grille avec les nombres de 1 à 16, puis on repère les cases du motif en X. Les valeurs de ces cases sont remplacées par leur complément à 17.

Valeur initiale Case du motif Valeur transformée

On obtient le carré suivant :

Carré magique d’ordre 4 par méthode doublement paire Ce carré magique d’ordre 4 possède une constante magique égale à 34.
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 34
  • Ligne 2 : 34
  • Ligne 3 : 34
  • Ligne 4 : 34

Colonnes

  • Colonne 1 : 34
  • Colonne 2 : 34
  • Colonne 3 : 34
  • Colonne 4 : 34

Diagonales

  • Diagonale 1 : 34
  • Diagonale 2 : 34

Le lien avec le carré de Dürer

Le carré de Dürer est lui aussi un carré magique d’ordre 4.

Carré magique de Dürer Le carré de Dürer est un carré magique d’ordre 4 de constante 34.
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 34
  • Ligne 2 : 34
  • Ligne 3 : 34
  • Ligne 4 : 34

Colonnes

  • Colonne 1 : 34
  • Colonne 2 : 34
  • Colonne 3 : 34
  • Colonne 4 : 34

Diagonales

  • Diagonale 1 : 34
  • Diagonale 2 : 34

Mais son intérêt est surtout historique et symbolique. Il ne sert pas uniquement à illustrer une méthode de construction. Il montre aussi comment un carré magique peut circuler dans l’art, la culture et l’histoire des mathématiques.

Le carré construit par méthode doublement paire joue un autre rôle : il sert de modèle pédagogique pour comprendre une famille entière de carrés.

Passage à l’ordre 8

L’ordre 8 permet de voir que la méthode doublement paire ne se limite pas au cas 4×4.

Un carré d’ordre 8 contient les nombres de 1 à 64. Sa constante magique vaut 260.

Carré magique d’ordre 8 par méthode doublement paire Ce carré magique d’ordre 8 possède une constante magique égale à 260.
64
2
3
61
60
6
7
57
9
55
54
12
13
51
50
16
17
47
46
20
21
43
42
24
40
26
27
37
36
30
31
33
32
34
35
29
28
38
39
25
41
23
22
44
45
19
18
48
49
15
14
52
53
11
10
56
8
58
59
5
4
62
63
1

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 260
  • Ligne 2 : 260
  • Ligne 3 : 260
  • Ligne 4 : 260
  • Ligne 5 : 260
  • Ligne 6 : 260
  • Ligne 7 : 260
  • Ligne 8 : 260

Colonnes

  • Colonne 1 : 260
  • Colonne 2 : 260
  • Colonne 3 : 260
  • Colonne 4 : 260
  • Colonne 5 : 260
  • Colonne 6 : 260
  • Colonne 7 : 260
  • Colonne 8 : 260

Diagonales

  • Diagonale 1 : 260
  • Diagonale 2 : 260

La grille est plus grande, mais la logique reste comparable : certaines cases conservent leur valeur initiale, tandis que d’autres sont remplacées par leur complément.

Vérification de quelques lignes

Dans le carré d’ordre 8, les lignes donnent bien 260.

64 +  2 +  3 + 61 + 60 +  6 +  7 + 57 = 260
 9 + 55 + 54 + 12 + 13 + 51 + 50 + 16 = 260
17 + 47 + 46 + 20 + 21 + 43 + 42 + 24 = 260
40 + 26 + 27 + 37 + 36 + 30 + 31 + 33 = 260

Les autres lignes donnent également 260. Les colonnes et les deux diagonales principales respectent aussi la même constante.

Pourquoi l’ordre 8 est utile

L’ordre 8 montre que la méthode doublement paire n’est pas une astuce limitée au carré 4×4. Elle appartient à une famille générale de constructions possibles pour les ordres divisibles par 4.

Différence avec les carrés d’ordre impair

Les carrés d’ordre impair, comme les ordres 3, 5 ou 7, peuvent être construits par la méthode siamoise.

Cette méthode consiste à se déplacer vers le haut et la droite, avec rebouclage, puis à descendre lorsqu’une case est déjà occupée.

Les carrés doublement pairs ne suivent pas cette mécanique. Leur construction repose plutôt sur :

- un remplissage initial ordonné ;
- un motif de cases ;
- une transformation par complément.

C’est une différence fondamentale.

Différence avec les carrés simplement pairs

Les carrés simplement pairs sont les carrés dont l’ordre est divisible par 2, mais pas par 4.

Exemples :

6, 10, 14, 18...

Ils sont souvent plus délicats à construire. Leur méthode demande généralement des découpages en blocs, des échanges de colonnes ou des ajustements plus fins.

Trois familles à ne pas confondre

Ordres impairs : 3, 5, 7, 9…
Ordres doublement pairs : 4, 8, 12, 16…
Ordres simplement pairs : 6, 10, 14, 18…

Pourquoi cette famille est importante ?

Les carrés doublement pairs sont importants parce qu’ils forment une transition naturelle.

Ils sont plus complexes que les carrés d’ordre impair, mais restent relativement accessibles. Ils permettent de comprendre que les carrés magiques ne dépendent pas d’une seule méthode universelle.

Ils introduisent aussi une idée très importante : la construction peut venir d’une transformation contrôlée d’une grille simple.

On ne cherche pas à placer chaque nombre un par un comme dans la méthode siamoise. On part d’une grille ordonnée, puis on modifie certaines positions selon une règle.

Dans Mystimath

Dans Mystimath, les carrés doublement pairs sont documentés à travers plusieurs entrées :

  • un carré d’ordre 4 construit par méthode doublement paire ;
  • le carré de Dürer, exemple historique d’ordre 4 ;
  • un carré d’ordre 8 construit par généralisation de la méthode doublement paire.
  • un carré d’ordre 12 qui montre l’extension de la méthode à une grille plus grande.

Ces exemples permettent de distinguer deux usages :

ordre 4 pédagogique → comprendre la méthode
Dürer → comprendre l’importance historique
ordre 8 → comprendre la généralisation
ordre 12 → extension à un egrille plus grande

Extension à l’ordre 12

L’ordre 12 montre encore mieux que la méthode doublement paire appartient à une famille générale.

Un carré d’ordre 12 contient les nombres de 1 à 144. Sa constante magique vaut 870.

Carré magique d’ordre 12 par méthode doublement paire Ce carré magique d’ordre 12 prolonge la méthode doublement paire à une grille plus grande.
144
2
3
141
140
6
7
137
136
10
11
133
13
131
130
16
17
127
126
20
21
123
122
24
25
119
118
28
29
115
114
32
33
111
110
36
108
38
39
105
104
42
43
101
100
46
47
97
96
50
51
93
92
54
55
89
88
58
59
85
61
83
82
64
65
79
78
68
69
75
74
72
73
71
70
76
77
67
66
80
81
63
62
84
60
86
87
57
56
90
91
53
52
94
95
49
48
98
99
45
44
102
103
41
40
106
107
37
109
35
34
112
113
31
30
116
117
27
26
120
121
23
22
124
125
19
18
128
129
15
14
132
12
134
135
9
8
138
139
5
4
142
143
1

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 870
  • Ligne 2 : 870
  • Ligne 3 : 870
  • Ligne 4 : 870
  • Ligne 5 : 870
  • Ligne 6 : 870
  • Ligne 7 : 870
  • Ligne 8 : 870
  • Ligne 9 : 870
  • Ligne 10 : 870
  • Ligne 11 : 870
  • Ligne 12 : 870

Colonnes

  • Colonne 1 : 870
  • Colonne 2 : 870
  • Colonne 3 : 870
  • Colonne 4 : 870
  • Colonne 5 : 870
  • Colonne 6 : 870
  • Colonne 7 : 870
  • Colonne 8 : 870
  • Colonne 9 : 870
  • Colonne 10 : 870
  • Colonne 11 : 870
  • Colonne 12 : 870

Diagonales

  • Diagonale 1 : 870
  • Diagonale 2 : 870

La grille devient moins confortable à lire directement, mais elle garde la même logique : certaines cases conservent leur valeur initiale, tandis que d’autres sont remplacées par leur complément.

Voir la fiche du carré d’ordre 12 doublement pair

Pour aller plus loin

Pages utiles :