Les carrés magiques simplement pairs occupent une place un peu particulière dans l’étude des carrés magiques.
Ils sont pairs, mais ils ne se comportent pas comme les carrés doublement pairs. Ils ne sont pas impairs non plus, donc la méthode siamoise ne leur convient pas directement.
L’ordre 6 est le premier exemple important de cette famille. Il permet de comprendre pourquoi certains carrés magiques sont plus délicats à construire que d’autres.
Carré magique simplement pair
Un carré magique simplement pair est un carré magique dont l’ordre est divisible par 2, mais pas par 4.
Les ordres 6, 10, 14, 18, etc., appartiennent à cette famille.
Trois familles à distinguer
Pour les carrés magiques normaux, il est utile de distinguer trois cas :
Ordres impairs
3, 5, 7, 9, ...
Ordres doublement pairs
4, 8, 12, 16, ...
Ordres simplement pairs
6, 10, 14, 18, ...Cette distinction n’est pas seulement un classement abstrait. Elle change directement la méthode de construction.
Une différence de méthode
Les carrés d’ordre impair peuvent être construits par méthode siamoise.
Les carrés doublement pairs peuvent utiliser une logique de complément.
Les carrés simplement pairs demandent généralement une organisation en blocs et des échanges de zones.
Pourquoi l’ordre 6 est le premier cas difficile ?
L’ordre 6 est pair, car il est divisible par 2 :
6 = 2 × 3Mais il n’est pas divisible par 4. Il n’est donc pas doublement pair.
Cela signifie qu’il ne relève pas directement de la méthode doublement paire utilisée pour les ordres 4, 8, 12 ou 16.
Ordre simplement pair
Un ordre simplement pair est un ordre de la forme 4k + 2.
Exemples : 6, 10, 14, 18.
La constante magique de l’ordre 6
Un carré magique normal d’ordre 6 contient les nombres de 1 à 36.
Sa constante magique est donnée par :
Constante magique d’un carré normal
M = n(n² + 1) / 2
Pour n = 6 :
Constante magique pour n = 6
M = 6(6² + 1) / 2 = 6(37) / 2 = 111
Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales doivent donc donner 111.
Exemple d’un carré magique d’ordre 6
Voici un exemple de carré magique normal d’ordre 6 simplement pair :
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 111
- Ligne 2 : 111
- Ligne 3 : 111
- Ligne 4 : 111
- Ligne 5 : 111
- Ligne 6 : 111
Colonnes
- Colonne 1 : 111
- Colonne 2 : 111
- Colonne 3 : 111
- Colonne 4 : 111
- Colonne 5 : 111
- Colonne 6 : 111
Diagonales
- Diagonale 1 : 111
- Diagonale 2 : 111
Ce carré contient les nombres de 1 à 36, sans répétition, et respecte la constante magique 111.
Vérification de quelques lignes
Les lignes donnent :
35 + 1 + 6 + 26 + 19 + 24 = 111
3 + 32 + 7 + 21 + 23 + 25 = 111
31 + 9 + 2 + 22 + 27 + 20 = 111
8 + 28 + 33 + 17 + 10 + 15 = 111
30 + 5 + 34 + 12 + 14 + 16 = 111
4 + 36 + 29 + 13 + 18 + 11 = 111Les colonnes et les deux diagonales principales donnent également 111.
Vérification
La vérification des lignes, des colonnes et des diagonales confirme que cette grille est bien un carré magique normal d’ordre 6.
Extension à l’ordre 10
L’ordre 10 prolonge naturellement l’ordre 6 dans la famille des carrés simplement pairs.
Il est divisible par 2, mais pas par 4 :
10 = 2 × 5Un carré magique normal d’ordre 10 contient les nombres de 1 à 100. Sa constante magique vaut 505.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 505
- Ligne 2 : 505
- Ligne 3 : 505
- Ligne 4 : 505
- Ligne 5 : 505
- Ligne 6 : 505
- Ligne 7 : 505
- Ligne 8 : 505
- Ligne 9 : 505
- Ligne 10 : 505
Colonnes
- Colonne 1 : 505
- Colonne 2 : 505
- Colonne 3 : 505
- Colonne 4 : 505
- Colonne 5 : 505
- Colonne 6 : 505
- Colonne 7 : 505
- Colonne 8 : 505
- Colonne 9 : 505
- Colonne 10 : 505
Diagonales
- Diagonale 1 : 505
- Diagonale 2 : 505
La grille est plus grande que celle de l’ordre 6, mais la logique reste comparable : elle repose sur une organisation en blocs et des échanges contrôlés.
Voir la fiche du carré d’ordre 10 simplement pair
Extension à l’ordre 14
L’ordre 14 prolonge encore la famille des carrés simplement pairs.
Il est divisible par 2, mais pas par 4 :
14 = 2 × 7Un carré magique normal d’ordre 14 contient les nombres de 1 à 196. Sa constante magique vaut 1379.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 1379
- Ligne 2 : 1379
- Ligne 3 : 1379
- Ligne 4 : 1379
- Ligne 5 : 1379
- Ligne 6 : 1379
- Ligne 7 : 1379
- Ligne 8 : 1379
- Ligne 9 : 1379
- Ligne 10 : 1379
- Ligne 11 : 1379
- Ligne 12 : 1379
- Ligne 13 : 1379
- Ligne 14 : 1379
Colonnes
- Colonne 1 : 1379
- Colonne 2 : 1379
- Colonne 3 : 1379
- Colonne 4 : 1379
- Colonne 5 : 1379
- Colonne 6 : 1379
- Colonne 7 : 1379
- Colonne 8 : 1379
- Colonne 9 : 1379
- Colonne 10 : 1379
- Colonne 11 : 1379
- Colonne 12 : 1379
- Colonne 13 : 1379
- Colonne 14 : 1379
Diagonales
- Diagonale 1 : 1379
- Diagonale 2 : 1379
À cet ordre, la lecture directe devient dense. La page de progression par ordre devient alors utile pour situer la structure dans la série : ordre 6, ordre 10, ordre 14.
Voir la fiche du carré d’ordre 14 simplement pair
Extension à l’ordre 18
L’ordre 18 prolonge la progression des carrés simplement pairs.
Il est divisible par 2, mais pas par 4 :
18 = 2 × 9Un carré magique normal d’ordre 18 contient les nombres de 1 à 324. Sa constante magique vaut 2925.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 2925
- Ligne 2 : 2925
- Ligne 3 : 2925
- Ligne 4 : 2925
- Ligne 5 : 2925
- Ligne 6 : 2925
- Ligne 7 : 2925
- Ligne 8 : 2925
- Ligne 9 : 2925
- Ligne 10 : 2925
- Ligne 11 : 2925
- Ligne 12 : 2925
- Ligne 13 : 2925
- Ligne 14 : 2925
- Ligne 15 : 2925
- Ligne 16 : 2925
- Ligne 17 : 2925
- Ligne 18 : 2925
Colonnes
- Colonne 1 : 2925
- Colonne 2 : 2925
- Colonne 3 : 2925
- Colonne 4 : 2925
- Colonne 5 : 2925
- Colonne 6 : 2925
- Colonne 7 : 2925
- Colonne 8 : 2925
- Colonne 9 : 2925
- Colonne 10 : 2925
- Colonne 11 : 2925
- Colonne 12 : 2925
- Colonne 13 : 2925
- Colonne 14 : 2925
- Colonne 15 : 2925
- Colonne 16 : 2925
- Colonne 17 : 2925
- Colonne 18 : 2925
Diagonales
- Diagonale 1 : 2925
- Diagonale 2 : 2925
À cet ordre, la vérification automatique devient vraiment utile. La grille contient 324 nombres, ce qui rend la lecture directe difficile, mais les lignes, colonnes et diagonales restent vérifiables par interaction.
Voir la fiche du carré d’ordre 18 simplement pair
Extensions vers les grands ordres
Les ordres supérieurs prolongent les mêmes familles :
Pourquoi ne pas utiliser la méthode siamoise ?
La méthode siamoise fonctionne naturellement pour les ordres impairs.
Elle repose sur un déplacement régulier : monter d’une ligne, aller d’une colonne vers la droite, puis reboucler si nécessaire.
Avec un ordre pair simplement pair, cette logique ne répartit pas les nombres correctement dans la grille. Elle ne produit pas directement une structure magique normale.
Pour voir la différence, on peut comparer avec un carré d’ordre 5 :
L’ordre 5 accepte une construction cyclique simple. L’ordre 6 demande une organisation plus complexe.
Pourquoi ne pas utiliser directement la méthode doublement paire ?
La méthode doublement paire repose sur une logique de motif et de complément.
Elle fonctionne pour les ordres divisibles par 4, comme 4 ou 8.
Exemple avec l’ordre 4 :
Mais l’ordre 6 n’est pas divisible par 4. Le motif simple des carrés doublement pairs ne s’applique donc pas directement.
La logique des blocs
Les méthodes simplement paires utilisent souvent une idée plus composée.
On peut schématiquement les comprendre ainsi :
1. construire plusieurs sous-carrés ;
2. organiser ces blocs dans une grille plus grande ;
3. échanger certaines colonnes ou certaines zones ;
4. vérifier les lignes, les colonnes et les diagonales.L’idée centrale est que l’on ne remplit pas seulement une grille case par case. On travaille aussi avec des régions.
Une construction par zones
Dans les carrés simplement pairs, la difficulté vient souvent des échanges entre blocs. Ce n’est pas seulement le placement local des nombres qui compte, mais l’équilibre global de la grille.
Pourquoi cette famille est importante ?
Les carrés simplement pairs sont importants parce qu’ils montrent les limites des méthodes les plus simples.
Ils forcent à comprendre que les carrés magiques ne relèvent pas d’une seule recette universelle. Selon l’ordre du carré, la méthode change.
Ils sont aussi utiles pour introduire des idées plus avancées :
- découpage en sous-carrés ;
- permutation de zones ;
- équilibre entre lignes et colonnes ;
- vérification algorithmique ;
- généralisation vers des ordres plus grands.Comparaison rapide
Ordre 5
- impair
- méthode siamoise
- constante 65
- construction cyclique
Ordre 4
- doublement pair
- méthode par complément
- constante 34
- motif de cases
Ordre 6
- simplement pair
- méthode par blocs et échanges
- constante 111
- construction plus délicateDans Mystimath
Dans Mystimath, l’ordre 6 sert de première entrée vers les carrés simplement pairs.
Il complète les structures déjà documentées :
Lo Shu → ordre 3, exemple historique
Ordre 5 → méthode siamoise
Ordre 7 → méthode siamoise
Ordre 4 → méthode doublement paire
Ordre 8 → méthode doublement paire
Ordre 6 → premier exemple simplement pair
Ordre 10 → généralisation simplement paire
Ordre 14 → avancée
Ordre 18 → progression avancée simplement paireCette progression permet de construire une base claire avant d’aborder des familles plus avancées : carrés bimagiques, trimagiques, multimagiques ou pandiagonaux.
Pour aller plus loin
Pages utiles :
- Carrés magiques d’ordre impair et d’ordre pair : quelle différence ?
- Comment construire un carré magique impair ?
- Les carrés magiques doublement pairs : définition, méthode et exemples
- Comment construire un carré magique d’ordre 4 par méthode doublement paire ?
- Voir la fiche du carré d’ordre 6 simplement pair
- Voir la fiche du carré d’ordre 10 simplement pair
- Voir la fiche du carré d’ordre 14 simplement pair
- Voir la fiche du carré d’ordre 18 simplement pair
- Voir la méthode simplement paire dans la base