Carrés multiplicatifs et additifs-multiplicatifs : quand la magie dépasse l’addition

Un carré magique classique repose sur une idée très simple : les nombres sont placés dans une grille carrée, et les lignes, les colonnes, puis les deux diagonales principales donnent toujours la même somme.

Cette définition est déjà assez riche. Elle ouvre vers les symétries, les méthodes de construction, les constantes magiques, les carrés normaux, les carrés semi-magiques, les carrés bimagiques ou encore les carrés trimagiques.

Mais il existe une autre manière de regarder la magie d’un carré : au lieu d’additionner les nombres, on peut les multiplier.

C’est là qu’apparaissent les carrés multiplicatifs.

Et plus loin encore, certains carrés réussissent à être magiques deux fois : une fois par l’addition, et une fois par la multiplication. Ce sont les carrés additifs-multiplicatifs.

Ils sont rares, plus difficiles à construire, et souvent moins connus que les carrés magiques classiques. Pourtant, ils montrent une idée très belle : la magie d’une structure ne dépend pas seulement de la disposition des nombres, mais aussi de l’opération choisie.

Du carré magique classique au carré multiplicatif

Dans un carré magique additif, chaque ligne, colonne et diagonale donne une somme constante.

Par exemple, dans un carré magique d’ordre 3, on vérifie des égalités du type :

a + b + c = constante

Dans un carré multiplicatif, on remplace l’addition par la multiplication :

a × b × c = produit constant

Un carré multiplicatif n’a donc pas besoin d’avoir des sommes égales. Ce qui compte, c’est que les produits soient identiques sur les lignes, les colonnes et les diagonales.

Cette différence change complètement la nature du problème.

Un carré additif travaille avec des équilibres de sommes. Un carré multiplicatif travaille avec des équilibres de facteurs.

Cela explique pourquoi les carrés multiplicatifs utilisent souvent des nombres non consécutifs, et pourquoi leurs produits peuvent devenir très grands.

Une construction simple : passer par les puissances

Il existe une méthode très pédagogique pour comprendre les carrés multiplicatifs.

On part d’un carré magique additif, puis on transforme chaque nombre k en une puissance d’une même base, par exemple 2^k.

Si une ligne du carré de départ vérifie :

a + b + c = S

alors, après transformation, on obtient :

2^a × 2^b × 2^c = 2^(a+b+c) = 2^S

La somme constante devient donc un produit constant.

C’est exactement l’idée derrière le carré multiplicatif de Lo Shu en puissances de 2.

Dans Lo Shu, chaque ligne, colonne et diagonale donne la somme 15. Si l’on remplace chaque valeur k par 2^k, chaque ligne, colonne et diagonale donne alors le produit :

2^15 = 32768

Ce type d’exemple est très utile pour l’enseignement, car il montre le lien entre addition, multiplication et puissances.

Il permet aussi d’introduire une idée importante :

une transformation arithmétique peut convertir une propriété additive
en propriété multiplicative.

Les carrés multiplicatifs historiques

Les carrés multiplicatifs ne sont pas seulement une construction moderne ou pédagogique. Ils apparaissent déjà dans des sources anciennes.

Le site Multimagie rappelle notamment des exemples publiés par Harry A. Sayles au début du XXe siècle, ainsi que des carrés plus anciens associés à G. Pfeffermann dans Les Tablettes du Chercheur.

Un exemple célèbre d’ordre 3 possède le produit magique :

P = 216

Il peut être écrit ainsi :

18   1   12
 4   6    9
 3  36    2

Vérifions quelques produits :

18 × 1 × 12 = 216
4 × 6 × 9 = 216
3 × 36 × 2 = 216

Les colonnes et les diagonales donnent aussi 216.

Ce carré est particulièrement intéressant, car le produit 216 est présenté comme le plus petit produit magique possible pour un carré multiplicatif d’ordre 3.

Un autre exemple historique possède le produit :

P = 1000

avec le carré :

50    1   20
 4   10   25
 5  100    2

Là encore, chaque ligne, colonne et diagonale donne le même produit.

Ces exemples montrent que les carrés multiplicatifs ne sont pas seulement une curiosité obtenue par transformation de puissances. Il existe aussi des constructions plus compactes, avec des produits beaucoup plus petits que ceux obtenus mécaniquement à partir d’un carré additif classique.

Carré multiplicatif ou carré de nombres carrés ?

La famille des carrés arithmétiques ne se limite pas aux produits constants.

Certains carrés magiques imposent une contrainte sur la nature des nombres utilisés. Par exemple, on peut chercher des carrés dont toutes les entrées sont des carrés parfaits.

Ces objets sont souvent très beaux, car ils combinent deux exigences :

1. les lignes, colonnes et diagonales doivent être magiques ;
2. les valeurs utilisées doivent appartenir à une famille numérique particulière.

Un exemple simple consiste à transformer Lo Shu non pas avec 2^k, mais avec 4^k.

Comme :

4^k = (2^k)^2

chaque valeur obtenue est un carré parfait.

La structure reste multiplicative, mais elle devient aussi un exemple de carré dont les entrées ont une nature arithmétique particulière.

Cette distinction est importante pour Mystimath :

Opération magique
→ addition, multiplication, puissances, hybride

Nature des entrées
→ nombres consécutifs, nombres carrés, nombres premiers, puissances, contrainte particulière

Un carré peut donc être multiplicatif par son opération, et en même temps appartenir aux carrés de nombres carrés par la nature de ses entrées.

Les carrés additifs-multiplicatifs

Un carré additif-multiplicatif est beaucoup plus contraint.

Il doit vérifier deux propriétés à la fois :

même somme S sur les lignes, colonnes et diagonales
même produit P sur les lignes, colonnes et diagonales

Autrement dit, les mêmes alignements doivent être équilibrés selon deux opérations différentes.

Ce n’est plus seulement un carré magique.

Ce n’est pas seulement un carré multiplicatif.

C’est un carré doublement contraint.

Par exemple, une ligne doit vérifier simultanément :

a + b + c + ... = S
a × b × c × ... = P

Cette double exigence explique pourquoi les premiers exemples connus sont d’ordre assez élevé. Les carrés additifs-multiplicatifs d’ordre 8 et 9 sont déjà des objets experts, bien plus difficiles à construire ou même à lire qu’un carré magique classique.

Walter W. Horner et les premiers exemples connus

Dans les années 1950, Walter W. Horner, professeur américain de mathématiques, a construit les premiers carrés additifs-multiplicatifs connus.

Un carré d’ordre 8, daté de 1955, possède :

S = 840
P = 2 058 068 231 856 000

Un autre carré d’ordre 9, daté de 1952, possède :

S = 848
P = 5 804 807 833 440 000

Ces nombres donnent une idée de la difficulté du sujet.

Dans un carré additif ordinaire, la constante magique est souvent raisonnable. Dans un carré additif-multiplicatif, le produit constant peut devenir immense, car il résulte de la multiplication de nombreux facteurs.

Ces carrés sont intéressants pour plusieurs raisons :

ils montrent que la double contrainte est possible ;
ils relient les carrés magiques à l’arithmétique des facteurs ;
ils ouvrent vers des problèmes d’optimisation ;
ils donnent une matière historique très riche.

Sur Mystimath, ces carrés sont classés dans la famille :

Carrés arithmétiques et hybrides

et dans les opérations :

addition
multiplication

Ils sont donc hybrides par nature.

Pourquoi ces carrés sont-ils difficiles ?

Un carré magique additif impose déjà de nombreuses contraintes.

Mais l’addition reste relativement souple : plusieurs combinaisons de nombres peuvent donner la même somme.

La multiplication est moins souple, car elle dépend de la factorisation des nombres.

Deux nombres proches peuvent avoir des structures multiplicatives très différentes. Par exemple :

48 = 2^4 × 3
49 = 7^2
50 = 2 × 5^2

Pour construire un carré additif-multiplicatif, il faut donc réussir à équilibrer à la fois :

les valeurs elles-mêmes
les facteurs premiers cachés dans ces valeurs

C’est pour cette raison que ces carrés sont rares, et qu’ils deviennent rapidement un domaine de recherche expérimentale.

Christian Boyer et les améliorations modernes

Après les exemples historiques de Horner, d’autres chercheurs et passionnés ont amélioré les résultats connus.

Christian Boyer, auteur du site Multimagie, indique avoir construit en 2005 de meilleurs carrés additifs-multiplicatifs d’ordre 8 et 9, avec des produits plus petits que ceux de Horner.

Pour l’ordre 8, un exemple donne :

P = 51 407 948 592 000
S = 760

Un autre exemple optimise davantage la somme et le maximum des valeurs utilisées :

P = 67 463 283 888 000
S = 600
Nb max = 225

Ces résultats montrent que plusieurs critères peuvent être optimisés :

le plus petit produit P
la plus petite somme S
le plus petit nombre maximal utilisé

Il ne s’agit donc pas seulement de trouver un carré qui fonctionne. Il s’agit parfois de trouver un carré meilleur qu’un autre selon une contrainte précise.

Cette logique de recherche fait des carrés additifs-multiplicatifs un terrain très riche pour les amateurs de mathématiques expérimentales.

Et les carrés multiplicatifs pandiagonaux ?

Il existe aussi une autre extension : les carrés multiplicatifs pandiagonaux.

Dans un carré pandiagonal, les diagonales brisées doivent elles aussi être magiques.

Pour un carré multiplicatif pandiagonal, cela signifie que les diagonales brisées doivent avoir le même produit que les lignes, colonnes et diagonales principales.

Cette variante est encore plus exigeante.

Le plus petit ordre possible n’est pas 3, mais 4. Un exemple d’ordre 4 associé à Harry A. Sayles possède le produit :

P = 14400

Les carrés multiplicatifs pandiagonaux méritent une page à part, car ils ajoutent une contrainte géométrique forte à une contrainte multiplicative déjà difficile.

Pourquoi ces carrés ont leur place dans Mystimath

Ces carrés sont experts, mais ils sont très utiles pour organiser la base.

Ils montrent que les structures magiques peuvent être classées selon plusieurs axes :

forme
→ carré, cube, hexagone, losange, treillis

opération
→ addition, multiplication, puissances, hybride

nature des entrées
→ nombres consécutifs, nombres carrés, nombres premiers, contraintes particulières

niveau de contrainte
→ magique, semi-magique, pandiagonal, multimagique, additif-multiplicatif

C’est exactement l’objectif de Mystimath : ne pas présenter les structures magiques comme une simple collection d’objets rares, mais comme une famille de formes, de règles et de contraintes.

Les carrés multiplicatifs et additifs-multiplicatifs sont donc une passerelle idéale entre :

les carrés magiques classiques
l’arithmétique des nombres
les problèmes ouverts
les recherches expérimentales

Ressources liées sur Mystimath

Sources

Christian Boyer, Multimagie.com — Carrés magiques multiplicatifs.
Christian Boyer, Multimagie.com — Carrés magiques additifs-multiplicatifs d’ordre 8 et 9.
Christian Boyer, Multimagie.com — Carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux.
Harry A. Sayles, exemples historiques de carrés multiplicatifs.
Walter W. Horner, carrés additifs-multiplicatifs d’ordre 8 et 9.